コーシーの判定法で質問があります。

質問

コーシーの判定法で質問があります。

私がわからない問題とその解答は画像に添付しました。

(1)1+N>2|x|と置くのはどうしてでしょうか。
(2)不等式の変形をどうしてこのようにするのか全くわかりません。
(3)さいごのp=pNの取り方によらずlim…の意味が分かりません。

丁寧に解説していただければありがたいです。

よろしくおねがいいたします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

(1)
途中の等比級数の等比が1未満である必要があるから。

(2)
初めの絶対値が(pの値に関係なく)０に収束することを示すため。
この手の不等式計算は、慣れることが必要です。
慣れてくれば、手が勝手に動くようになります。
ちなみに、不等式計算は割り算のようなもので、何回も失敗しながら計算していきます。
不等式をつないでいったのはいいけど、最後に→0にならないなんてことはよくあります。

(3)
不等式の最後の式を見てください。
pが消えています。
つまり、この最後の式の極限値は、pに関係のない値であるということ。

コーシーの判定法は

任意のm,nに対して、
|a_m-a_n|→0(m→∞,n→∞)が成り立つかどうかです。

このとき、mとnの対称性から、m<nとしても問題ありません。

この解法の場合、m=N、n=N+p、としています。
当然、このようにしても、m,nの任意性は崩れません。

補足

申し訳ありません…まだ不明な点があります(><)

(1) 途中の等比級数の等比が1より小さい必要があるならば、|x| / N+1 < 1 つまり　|x| < N+1だけで良いのではないでしょうか？　なぜ|x|が2倍されているのですか？

(2)(3) 不等式の最後の変形から極限をとったときに0になると言い切れる理由は、(Nの累乗)/(Nの階乗)の極限をとる時、階乗の方が速度が速いということを使っているから、ということですか？

申し訳ありません…、宜しくお願いします(^^)!