確率の質問です。

質問

確率の質問です。
自分でテキストを解いて進めているのですが
練習問題等の解答・解説が載っていない為、しっかりと演習ができず
イマイチ理解できずにいます。
以下はそのテキストの練習問題です。

２変数(x,y)の確率密度関数
p(x,y)=(6-x-y)/8, 0<x<2, 2<y<4
がある。
(1)E(y│x)を求めよ。
(2)E(y^2│x)を求めよ。
(3)V(y│x）を求めよ。

（ちなみにEは平均、Vは分散です）

（１）で平均の定義に従ってE(y│x)を求める場合p(y│x)とyの積を積分すれば
よいので、p(y│x)を求めようと考えました。
p(y│x)=p(x,y)/p(x)　ここでp(x)の求め方がわからず先に進めずにいます。

この問題に関してはxとyが独立なのでp(y│x)=p(y)だと思うのですが
どちらにしろp(x,y)からp(y)やp(x)を求める方法がわかりません。
わかる方、教えてくださいm(_ _)m

回答No.2

Anti-Giants

中途半端な理解の下で書いています。参考までに。

(1)
Z=E[Y|X]⇒∀g∈{適当な条件},E[g(X)Z]=E[g(X)Y].

E[g(X)Y]
=int[x:0,2]int[y:2,4]{g(x)y(6-x-y)/8}dydx
=int[x:0,2]{g(x)(26-9x)/12}dx.

if Z=f(X),
E[g(X)Z]
=int[x:0,2]int[y:0,2]{g(x)f(x)(6-x-y)/8}dydx
=int[x:0,2]{g(x)f(x)(3-x)/4}dydx.

f(x)=(26-9x)/12×4/(3-x)=(26-9x)/3(3-x).

Z=f(X).

(2)
W=E[Y^2|X].
(1)と同様。

(3)
U=V[Y|X]=E[(Y-E[Y]^2)|X]=E[Y^2|X]-2E[Y]E[Y|X]+(E[Y])^2.
U=W-2E[Y]Z+(E[Y])^2.

回答No.1

noname#227064

p(x)はxについての周辺確率密度関数のことでしょうが、それなら
p(x) = ∫p(x,y)dy
で求められます。
あと、勘違いされているようですが、この問題のxとyは独立ではありません。
確率変数XとYが独立であるとは、それぞれの周辺確率密度関数をp_X、p_Yとすると
p(x,y) = p_X(x) p_Y(y)
となることです。
ご質問の問題ではこうは書けません。