共分散行列用データ

質問

共分散行列用データ

共分散行列を使わなければならない前提があるとして、そのデータを任意に作らなければならないのですが、どのように作成したらよいかが全く解りません。

書籍やHPの紹介でも良いので、宜しく御願い致します。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

No.1に追加。

データ行列Xのサイズは、m < nとしています。
また、求めたXは平均値が0になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
また、お礼が遅れまして、申し訳ありません

ご教示頂いた内容を参考に前に進めることができました。
紹介頂いた本も、探してみようと思います。

回答No.1

noname#227064

何に使うのかがわかりませんが、標本分散共分散行列のみわかっていて、それに合うようなデータを作成したいのですね。

サンプルサイズがnのデータをn×m行列Xで表すとします。
このとき、標本分散共分散行列Sは次のよう計算できます。
S = X'(I(n)-JJ'/n)(I(n)-JJ'/n)X/n　　　(*)
ここで、I(n)はn×n単位行列、Jは全ての要素が1であるn×1行列、X'はXの転置行列です。

SとI(n)-JJ'/nは対称行列なので、それぞれ適当な直交行列で対角化できます。
P'SP = DD
Q'(I(n)-JJ'/n)Q = ((I(n-1) O)' (O O)')
Pはm×m行列, Qはn×n行列で
PP' = P'P = I(m)
QQ' = Q'Q = I(n)
となります。
Dはm×m対角行列で、対角成分はSの固有値の平方根となります。
零行列の次元を書いていないのでわかりにくいですが、((I(n-1) O)' (O O)')は1行目からn-1行目の対角成分のみが1でそれ以外は0であるn×n行列です。

さて、Sは
S = PDDP' = PDDP' = P(D O)(D O)'P' = P(D O)Q'Q(D O)'P'
と変形できるので、(*)との比較から
(I(n)-JJ'/n)X/√n = Q(D O)'P'
を満たすXを求めればよいことになります。
その解はGをI(n)-JJ'/nの一般逆行列とすれば、
X = (√n)GQ(D O)'P'　　　　(**)
となります。
なお、一般逆行列は一つとは限らず複数存在します。
今回の場合
X = (√n)(I(n)-JJ'/n)Q(D O)'P'
も解の一つとなります。

(**)以外にも(*)の解があるかも知れませんが、私にはわかりません。

> 書籍やHPの紹介でも良いので、宜しく御願い致します。

「統計のための行列代数」（D.A.ハーヴィル著)はいかがでしょうか。