算数の問題です．

質問

算数の問題です．

「ツルが4羽います．ツルは2本の足をもっています．足の数は，全部で何本でしょう？」

この問題に対し，2 x 4 = 8は正解，4 x 2 = 8は間違い，としばしば聞きます．なぜなのでしょう？

掛け算では，数値の順番が異なると，意味が異なるという主張が分かりません．後者も「4羽いて，1羽あたり2本，よって4 x 2 = 8，答8本」と説明できるのに，なぜ間違いなのでしょう？「1羽あたり2本，それが4羽，よって2 x 4」という順番のほうが美しいとしても，4 x 2が“間違い”というのは，理解できません．

回答No.8

momordica · ベストアンサー

＃7さん
> 文字(ａ，ｂ，ｃ等)と数字(１、２、３等)を組み合わせて表す場合、数字、文字という順に書くという決まりがあるので
> ４aという表し方になります。(式はあくまでも、a×４)

いえ、問題は、なぜ数字を文字の前に書くという決まりになっているかです。
日本語では例えば「犬が3匹」のような言い方が自然なので、「2×4」は「2が4つ」の意味になりますし、
これが小学校で教える基本的な掛け算の式になっていますが、これは世界共通ではありません。
例えば英語などでは「3匹の犬」のように表現するからか、「2×4」は「2つの4」という意味になります。
実際、「2×4=8」というのは英語では「Two times four equals eight.」のように読みますが、これは直訳
すれば「2倍の4は8に等しい」、すなわち「4を2倍したものは8に等しい」という意味で、日本語とは全く逆に
なっています。
つまり、少なくとも、英語圏においては4羽の鶴の脚の数を計算する式は「4×2」なのです。
「4a」のような表記法も、おそらくは「aが4つ」というのをあちらの人が自分たちにとって自然な形で表現した
ものなのではないかと思います。

結局、「2の4倍」を「2×4」のように書くのは、あくまで日本の小学校のローカルルールだということです。
したがって、もしそれ以外の場所で、その順序を根拠に誤答だとされたなら、抗議すべきです。

ただし、その考えを、掛け算を初めて習う小学2年生などに適用するのには反対です。
掛け算というのは、それまで一次元の足し算と引き算だけの世界にいた彼らが、初めて触れる
「次元の違いのある要素の間の演算」です、
「2×4」と「4×2」が計算上同じ値になるということを知る以前に、「2を4倍すること」と「4を2倍すること」の
意味の違いを彼らは知らなければいけません。
つまりは、＃2さんや＃5さんが言っているような違いです。
その違いを、式の上での「2×4」と「4×2」のような書く順序の違いとして表現することの是非はあるかも
しれませんが、とりあえず、区別できることが大事だと思います。

例えば、小学校2年程度の子で、
「ツルが4羽います．ツルは2本の足をもっています．足の数は，全部で何本でしょう？」
という問題で「4×2=8」と書いて解く子は、おそらくは、交換法則を理解した上でそうしているのではなく、
文の表す数量関係を全く理解せずに、文中に出てきた順に数を並べて、あてずっぽうで計算をしている
だけです。
そうでないかも知れませんが、少なくとも、そうである可能性があるので、教える側は、このような回答を
する子をチェックして、確かめる必要があります。
このような計算の意味に関する理解の低さは、5年生、6年生辺りで少数、分数の掛け算を勉強する頃に
なるまでなかなか表面化しませんが、表面化する頃には、大抵なかなか取り返しがつかなくなっています。
したがって、掛け算の順序を逆にすることを間違いでないと放置するのは、大いに問題があると思います。

まとめると、数学で、積の順序を逆にすることを間違いだとする理由はありませんが、算数の学習段階の
初期で、掛け算の順序に意味を持たせ、逆に書くことを間違いだと教えて、その意味を意識させることは、
重要だと私は思います。

しかしながら、小学校の先生が、そう思って教えているとも限らないのも事実です。
＃4さんのおっしゃるように「そう教えることになっているから」というだけの先生も多いでしょう。
長方形の面積で、「縦×横」と習ったのを「横×縦」で計算したら間違いとする先生もいるらしいですが、
はっきり言って、こういうのには、何の意味もありません。
もし長方形が斜めに書いてあったら、どうするつもりなの?

お礼

御回答ありがとうございました．掛け算というのは、「次元の違いのある要素の間の演算」！！むむむ！そうか，そうですよね．目を覚まされた感じがします．国語と数学での記述方法の結びつきについての御説明も納得できます．「掛け算の順序を逆にすることを間違いでないと放置するのは、大いに問題」もそ通りだと思います．長方形が斜めだったら？これも面白かったです．

回答No.9

mide

この問題はよく議論になりますね。

私の考えとしては第一に，数学的にどちらかの順番でなければいけないということはありません。多くの国では日本と逆に，4×2 = 8 という順で書きます。その順がその国の言葉で自然だからであり，日本で 2×4 = 8 なのも「足2本のツルが4羽」と言うからです。足し算と同様，本質的に順番はないのです。

次に間違いとすべきかどうか。

小学校のかけ算は，2 + 2 + 2 + 2 を 2×4 と書くことから始まります。この方法を上の問題にあてはめれば 2×4 です。しかし，「2 + 2 + 2 + 2 は 4×2 でない」とか「4×2 は 2 + 2 + 2 + 2 でない」などとは教えません。だから「正しくない」わけではないのです。ただ教えていないだけ。

算数に限らず教科書や授業で教わらなくても正しいことはいくらでもあります。4×2 = 8 という答えを間違いとするのは，「学校で教えないことは正しくない」と教育することであり，有害ですらあります。

今まで聞いた中では，「たて3cm よこ5cmの長方形の面積は」という問題で 5×3 という式では間違いにされるというものもありました。公式が「たて×よこ」であり，それに沿っていないからですが，同じばかばかしさだと思います。

実際のところ，4×2 = 8 を間違いとしてどれだけ教育的効果があるか疑問です。第一項と答えの単位が同じという論もありますが，それも日本のローカルルールでしかありません。わり算は順番を換えられないからとか行列のかけ算はとかも言いますが，順番を重視すべきものとそうでないものを意識することの方が重要だと思います。

私はフィンランドに住んでいまして，こちらの小学校では 4×2 = 8 方式で教わりますが，2×4 = 8 でも間違いとはされません。

お礼

御回答ありがとうございました．2 x 4という順序は世界共通ではないのですね．とても参考になりました．

回答No.7

umihiko55

まず、間違いだというのは言いすぎです。
が、これは問題にも欠点があります。
常識的に考えて、このレベルの問題では
１、求めるものが、１つあたりどのくらいあるか(この場合、ツル１羽に対して足２本)
２、その１つ(この場合、ツル)がいくつ(この場合、ツルが４羽)あるか
の順に提示されるのが一般的です。
また、小学生でもツルの足の本数ぐらい分かると思うので
この問題に関しては、「ツルは２本の足を持っています。」というのは
いらないと思います。

また、「なぜ間違いなのか？」という質問に答えるとしたら
抽象的になってしまいますが
「１つあたりの数を重視するという概念があるが故に
質問の様な「２×４」が正しいとされる」
という答えになると思います。

もしくは「数学(算数)では２×４というのが一般的」
という答えになります。

どちらも、「間違い」を説明する力はないですが・・・・。

無理やり説明するとすれば
「計算上は合っているが、１つあたりの数を先に書くというふうに決まっている」
となりますが・・・(決まっているかは不明・・・)

ちなみに、４番目に回答した人の回答の中で
４aという形で説明していますが
その説明は明らかに間違っています。

文字(ａ，ｂ，ｃ等)と数字(１、２、３等)を組み合わせて表す場合、
数字、文字という順に書くという決まりがあるので
４aという表し方になります。
(式はあくまでも、a×４)

お礼

御回答ありがとうございました．私も決して4 x 2とは書かないのですが，それを”間違い”というはおかしいと思います．

回答No.6

ORUKA1951

もう一つ見つけた。
二つの数の差を比較するときは、
★大きな数から小さい数を引かなければならない
　小さい数から大きい数は引けない・・・これは、大学で数論を習う時も、ずうっと正しい。
　しかし、数の拡張で[負数]という数を導入すると、初めて計算上は、負数が得られることを理解できるようになる。
自然数
　整数
　　分数
　　　少数
　　　　負数
　　　　　無理数
　　　　　　　虚数
　と順番にきちんと教えましょう。でないと泣くのは子供だよ。
　学校で、将来の子供のために大事なところは丁寧に教えるのですから、親も一緒に学べばよいものをと・・・

お礼

御回答ありがとうございました．確かに，大人は意味を理解しているので，2 x 4も4 x 2同じだろ？って思うわけですが，子供には，順をおって説明すべきですね．その時ひと塊りの数は何ですか，それが何塊りありますか，と意識させ，まずはひと塊りの数のほうを先に書くように”躾ける”．それが子供のためには良いことだと思います．「どっちが先でも一緒です」といきなり教えたら，子供が混乱しますよね．

回答No.5

ORUKA1951

>，2 x 4 = 8は正解，4 x 2 = 8は間違い，
その通りです。全く意味が違います。ここを理解しておかないと、先で困ります。
２×４は、２を４回加えるという意味です。
すなわち、
2×4=2+2+2+2
4×2=4+4
と全く異なる意味を持っています。
　そのうえで、数学の汎用性というルールで「交換則」で、計算結果は同じになるという重要な四則演算のルールの一つを身につけていきます。

言葉でいうとよくわかるかな
足が２本あるとして、それを４倍だから、２本＋２本＋２本＋２本で４本
ツルが４羽いるとして、２倍すると、４羽＋４羽で、８羽・・
★掛け算の意味と、計算の方法とは全く別問題です。
　ここを理解してない人は、計算は得意かもしれないが、数学は理解していない。
　だから、繰り返し繰り返し教える。しかし、それを忘れた・・・数学ができない大人が「同じだ」と、混ぜ返えす。

　ほかにもあるよ
移項という処理があるけど、それを反対側の辺に移動するときは符号を変えるという手続きだけ覚えているひとがいる。
　それは、「両辺に同じ処理をしても両辺の関係は変わらない」という重要な数学的考え方なのだけれども・・・

お礼

御回答ありがとうございました．おっしゃる通り，意味と方法は別物だと思います．試験対策のために方法のみを暗記に走る怖さを，皆がもっと認識すべきだと思います．移項を例とした御説明も，たいへん分かりやすいです．

回答No.4

sanori

こんばんは。

＞＞＞なぜなのでしょう？

小学校の先生は、そのように児童に教えなさい、
と決められているからです。
どちらかに決めて統一しないと、児童の間で混乱が起こるからだと思います。

中学１年になると、小学校流の考え方は、もはや崩壊します。
１羽の足の数をａ、鶴が４羽だとすると、足の数の合計は４ａです。

ちなみに、
私が子供が小学校１年のときに授業参観に行ったときは、引き算を教える授業でした。
先生は
「７と３はどれだけ違うかな。３－７だとだめだから、７－３で・・・」
と言っていましたが、そのとき最前列にすわっていた男の子が
「まーいなーすよぉーん！　まーいなーすよぉーん！」
と何度も大声で主張していました。
次の問題が出ても、またまた
「まーいなーすにー！　まーいなーすにー！」
です。
私は心の中で、「うん。君は正しい！」と応援していました。
先生は、一所懸命、彼を無視していました。
私が今まで授業参観に行った中で最も印象深いというか、笑えるエピソードです。

お礼

御回答ありがとうございました．先生方がかかえる現実というものは，確かにあると思いますし，それはそれで構わないと思っています．

回答No.3

BookerL

１羽あたり２本の足ですから、２羽なら ２＋２ で４本、３羽なら ２＋２＋２ で ６本、４羽なら ２＋２＋２＋２ で ８本……

そして、同じ数を何回か足し合わせる計算がかけ算であり、２＋２＋２＋２ は ２ を ４回足し合わせているので ２×４ となるわけです。

　普通の数のかけ算では、かける順序を変えても結果は同じなので、

＞4 x 2 = 8は間違い

　というのは言いすぎですが、筋が悪い、ということは言えるかも知れません。

お礼

御回答ありがとうございました．「筋が悪い」というのは，良いコメントだと思います．

回答No.2

leo-ultra

僕もよく理解していませんが、小学生or中学生当時に納得したのは次のような説明です。しかし今、考え直すと、いろいろ考える部分があります。

説明は、単位に注目。
正しいとされる順序では
２[本の足]ｘ４[羽]＝８[本の足]　です。
つまり、最初の「２」と答えの「８」は同じ単位を持ちます。

これは、二番目の数「４」は繰り返し回数を表すものだと、
小学校で掛け算では定義されているようです。

これが反対だと、
４[羽]×２[本の足]＝８[羽]
となって、答えが８羽になって単位が合いません。

しかし後に物理学で単位の話を習うと、この説明は疑問がでてきますが、それは省略。

お礼

御回答ありがとうございました．単位が何かを意識することは大切ですよね．

回答No.1

noname#105225

＞この問題に対し，2 x 4 = 8は正解，4 x 2 = 8は間違い，としばしば聞きます．なぜなのでしょう？

聞いたことありませんが、あえて理由をつけるとすれば２は定数４は変数ということかも

国語に考えると4 x 2のほうが主従をあらわして、いいような気もしますが

お礼

御回答ありがとうございました．変数と定数の区別は大切だ思います．