考え方を教えてください

質問

次のような問題があります。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ここから
1段階目から始まり5段階目まで到達するのにかかる試行回数の期待値を求めよ。但し、各段階目で成功した場合は1段階あがることができる。成功確立はそれぞれ異なっており、1段階目と2段階目で失敗した場合は、1段階目に戻され、3段階目以降で失敗した場合は2段階下がる。

成功確立を以下に示す
段階 成功確立
1→2 85%
2→3 70%
3→4 60%
4→5 50%
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ここまで

ペナルティなしだったら1段階目から２段階目にあがるためには
1→2段階：100/85≒1.18回
で、2から3へは
2→3段階：100/70≒1.43回
となると思うんですけれど、失敗した場合は
2段階戻ってやり直しになるという部分を
どう考えればいいのかよくわかりません。
どうしたら期待値を求めることができるのでしょうか？
また、この問題に当てはまる公式や解答を導き出すために必要な理論の名前など、もしご存知でしたら教えてください。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「マルコフ過程」ないし「マルコフ連鎖」かなぁ.
各段階で「5段階目に到達するための試行回数の期待値」を Ei とおいて, この Ei に対する連立方程式を解けばいけるはず. 例えば, 3段階目からは「確率 0.6 で 4段階目へ, 確率 0.4 で 1段階目へ移行する」ので
E3 = 1 + 0.6E4 + 0.4E1
と書ける, はず. これをほかのやつについても全部書いて, 4元の連立方程式を解けば出るんじゃないかな.

お礼

この問題では、何回試行しても到達確立が100％にならないんですね。
計算したところ95％以上の確立で到達できるのは
38回目以降となりました。
大変参考になりました。どうも有難うございました。