量子力学の問題(期待値を求める)
量子力学の問題について、自分で解いたのですが正しいか自信がありません。各問いで解答が正しいか、また考え方が正しいかご教授をお願いします。
問題
ポテンシャルV(x)=-gxの中を運動する質量mの粒子について。ある時刻t=ｔ0において粒子の波動関数が次のように与えられたとする。
Ψ(x,to)=Ｃexp(-ax^2+ibx) (a,b,Cは正の実数)
このとき、
(1)t=toにおける位置の期待値
(2)t=toにおける運動量の期待値
(3)時刻tにおける位置の期待値
(4)波動関数Ψ(x,t)が従う、時間に依存するシュレディンガー方程式
を求めよ。
解答
(1)＜Ψ(x,to)*| x |Ψ(x,to)＞
=∫[-∞,∞]Ｃexp(-ax^2-ibx)・x・Ｃexp(-ax^2+ibx)dx
=Ｃ^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx
を計算して答えが0になりました。(この積分を直接計算できませんでしたが、被積分関数のグラフを考えると原点対象だったので、-∞から∞に積分して０になるだろうと考えました。)
(2)＜Ψ(x,to)*| －ihd/dx |Ψ(x,to)＞
=…
=hbＣ^2∫[-∞,∞] exp(-2ax^2)dx
=hbＣ^2×√π/√(2a)
(最後の積分でガウス積分の公式を使いました。)
(3)ハミルトニアンが時間に依存しないので、時刻tにおいて波動関数ψは
ψ(x,t)=Ψ(x,to)exp(-iEt/h)=Ｃexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h)
とおける。従って求める期待値は、
＜ψ(x,t)*| x |ψ(x,t)＞
＝∫[-∞,∞]Ｃexp(-ax^2-ibx)・exp(iEt/h)・x・Ｃexp(-ax^2+ibx)・exp(-iEt/h)dx
＝Ｃ^2∫[-∞,∞] xexp(-2ax^2)dx
＝０ (結局(1)と同じ)
(4)(-h^2/2m(d^2/dx^2)-gx)ψ(x,t)＝ihd/dtψ(x,t)
補足
ｎは正の整数（０を含む） です。