パズルを解いてて疑問に思ったこと

質問

パズルを解いてて疑問に思ったこと

4×4のマス目に表裏の区別があるコインを16個
1マスに1個ずつ適当に並べます
そして以下の作業をします
＿＿＿＿＿＿＿＿＿
今、表（裏）である全てのコインについて
☆の作業を行う（作業の途中の表裏は気にしません）
￣￣￣￣￣￣￣￣￣
☆：そのマスにおいてあるコインとそのコインの縦1列、横1列のコインを裏返す

この作業を何回か繰り返せばいつかは
全てのコインが裏（表）になるというものです

何回もこれを試して実際にあっていることを確認しましたが
なぜ成立するのかわかりません
どなたか証明お願いします
またこれはn×nでも成り立ちそうですがそうなりますか？

回答No.2

nag0720

＞このパズル（4*4）で任意のコインを目標どおりにできることはわかっていますが
＞自分が知りたいのは
＞「この作業」でなぜ全てを同じにできるかなのですが

なにが分からないのでしょう？？
任意のコインをそれ１つだけ裏返すことができるのだから、
どんな状況になっていても、表（裏）になっているコインを１つずつ裏（表）にしていけば、
つまり、表（裏）になっているコインのマスで、＃１で書いた作業を行えば、
全部を裏（表）にできるのでは？

補足

質問の仕方が悪かったかもしれません
表：□　裏：■　として全てを表にします

□□□□　 □□■□　 □■■□
□□■□　 ■■□■　 ■□□■
□■□□→□■■□→■□□■
□□□□　 □□■□　 □■■□
　　　　　　　　(2,3)で☆ 　(3,2)で☆　　これが1ステップ目

□■■□ 　■□□■　 □■■□　 ■■■□　 □■■□
■□□■ 　■■□■　 ■■■■　 □□□□　 ■□□□
■□□■→■■□■→■■■■→□■■■→■□□□→
□■■□ 　□□■□　 □□□□　 ■□□□　 □□□□
　　　　　　　　(1,2)　　　　　(1,3)　　　　　　(2,1)　　　　　(3,1)
□□■□　 □□□□　 □□□■　 □□□□
■■□□　 ■■■□　 □□□■　 □□□□
■■□□→■■■□→■■■■→□□□□
■■■■　 □□□□　 □□□■　 □□□□
　(4,2)　　　　　(4,3)　　　　　　(2,4)　　　　　(3,4) これが2ステップ目

自分が聞きたいのは
「このパズルでは任意のコインを任意の状態にできるから
全てのコインを裏(表)にできる」というものではありません
「『この作業』をしてなぜ全てのコインを裏(表)にできるのか」が聞きたいのです
この作業というのは↑の例でやったものです

あとこれはnが偶数だからできるものでした　すみませんでした

回答No.1

nag0720

4×4のマス目のうち、１個のコインだけ表、残りは裏という状態を全て裏にするには、
そのコインとそのコインの縦1列、横1列のコインに対し、
「そのマスにおいてあるコインとそのコインの縦1列、横1列のコインを裏返す」
という操作をします。
（そのコインは７回、それ以外のコインは２回か４個の裏返しになる）

つまり、任意のコインに対して、そのコインだけを裏返すことが可能です。（これが証明になります）

n×nはｎが偶数なら成立しますが奇数の場合はどうなんでしょうかね。

お礼

今までずっと考えてやっと理解できました
実は知りたいことと少し違います
このパズル（4*4）で任意のコインを目標どおりにできることはわかっていますが
自分が知りたいのは
「この作業」でなぜ全てを同じにできるかなのですが
少し理解に近づけたことには違いはありません
回答ありがとうございました