誰か。たすけてください。

質問

証明の仕方がわかりません。

整数nについて２(n＾3)＋３（n＾2)＋13nは６の倍数であることを証明します。

詳しく教えて

回答No.4

oshiete_goo

＃１です．
数学的帰納法を用いた解法としては,＃３さんがお書きになったやり方で基本的にはアイデアは正しいのですが，「整数ｎ」だと０や負の場合もあるので，

[修正案]
n=kのとき の命題の成立を仮定して
n=k±1のとき にも成立することを示す．
（具体的には書いていませんが，複号同順でかなりいけるのでは？）

＜別解＞
f(n)＝２n^３＋３n^2＋13ｎ
とおく．

（i）f(０)＝０は６の倍数．
（ii）階差　f(k＋１)－ｆ(k)＝6(k^2+2k+3)　も常に６の倍数．

すると，ｎ＞０のとき，（i）から出発して，（ii）を上に向かって繰り返し用いれば，６の倍数どうしの和で　ｆ(０)⇒ｆ(１)⇒ｆ(２)⇒・・・⇒ｆ(n)

また，ｎ＜０のとき，（ii）を下に向かって用いれば，同様に　ｆ(０)⇒ｆ(－１)⇒ｆ(－２)⇒・・・⇒ｆ(n)

従って，帰納的に全ての整数ｎについてｆ(ｎ)は６の倍数．

回答No.3

keiri2002

数学的帰納法より証明
(1)ｎ=1の時
　2*1^3+3*1^2+13*1=18
　よって成立
(2)n=kのとき
　2k^3+3k^2+13k=6m （mは任意の整数）が成立すると仮定する
　n=k+1のとき
　2(k+1)^3+3(k+1)^2+13(k+1)=2k^3+9k^2+25k+18
=6m+6(k^2+2k+3)
よって成立
以上

回答No.2

uyama33

n=6k+r 　（ r=0,1,2,３，-2,-1　）
と書けます。
これを、元の式に代入すると、
６の倍数の部分と

Ｒ＝２(ｒ＾3)＋３（ｒ＾2)＋13ｒ

に分けることができます。
このｒに　r=0,1,2,３，-2,-1
を代入して計算すると

Ｒ＝１８，５４，１２０，－３０，－１２

となります。
これらの数は全て６の倍数ですので
全体が６の倍数であると言えます。

回答No.1

oshiete_goo

２n^３＋３n^2＋13ｎ
＝２(n^３－ｎ)＋３n^2＋15ｎ
＝２n(n+1)(n-1)＋３(n^2＋ｎ)＋12ｎ
＝２(n-1)n(n+1)＋３ｎ(n＋１)＋12ｎ

あとは考えましょう．

数学的帰納法も既にやっていれば有力です．