３つの円が１点で交わる条件について

質問

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目標：ある点Ａの位置を計測したい（ＧＰＳみたい）．

条件：三角形の３つの頂点にセンサそれぞれ配置している．（センサの位置は既知）
　　　各センサはある点Ａとの距離を計測できる．
　　（ただし条件として，計測できる距離は一意ではなくある係数倍かかっています．）
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条件を満たしつつ目標を達成するために，係数αを逆算したいです
以下質問

まず，計算を簡単にするために，３つのセンサの配置座標を回転＋平行移動させて
センサ１（０，０，０）　　　半径（出力距離）　αＲ１
センサ２（Ｘ２，０，０）　　半径（出力距離）　αＲ２
センサ３（Ｘ３，Ｙ３，０）　半径（出力距離）　αＲ３
とすると，３つの円の方程式は，

x^2　　　　　　+　y^2　　　　　=　αR1 ・・・(1)
(x - X2)^2　　+　y^2　　　　　=　αR2 ・・・(2)
(x - X3)^2　　+　(y - Y3)^2　=　αR3 ・・・(3)

とここまではわかるのですが，
学校では勉強したときは，２円が交わる，接する，接しないかを判別するのに，判別式を使いましたが，
３つの円が１点で交差するための条件は学んでおらず判りません．

条件がわかれば，それを満たすαがわかるので，
位置を推定するときにα倍すれば位置が推定できそうなのですが・・・

数学の知識が乏しいため，詳しい方がおられましたらご教授お願いいたします．

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

２つの円の交点は、高々２つしかありません。
３つめの円は、その２つの交点のうちどっちなのかを選択しているだけです。

センサ１とセンサ２の円の式から交点の２座標を計算し、その位置とセンサ３との距離がαR3になっているかを判断すればいいのではないですか？

なお、円の式(1)は、半径がαR1なら、
x^2　+　y^2　=　(αR1)^2
です。

お礼

なるほど．そういう考え方もできるのですね☆

自分は，３つの円から判別式みたいのがあって，
それを解くのかと思っていました．

ちょっとその考え方で試してみます．
ありがとうございます．

回答No.3

info22

#1です。
αが入力しにくいのでaとおきます。
センサ１ A(0.0.0),　半径 aR1
センサ２ B(X2,0,0),　半径 aR2
センサ３ C(X3,Y3,0), 半径 aR3

センサの位置座標A,B,Cは各円の中心座標でもある。

また半径の２乗が円の方程式になりますので
x^2 +y^2　　　　 =(aR1)^2 ・・・(1)
(x - X2)^2 +y^2　=(aR2)^2 ・・・(2)
(x - X3)^2 +(y-Y3)^2=(aR3) ・・・(3)
と修正しておきます。

＞＞(条件1)３つの円の方程式が共有点を持つこと。

これは
(1),(2)を解いた解を求めると
２つの交点を持つ条件（交点の１つが三角形の内部にある条件）から
判別式D={(aR2+aR1)^2-X2^2}{X2^2-(aR1-aR2)^2}＞0
の条件を満たすこと。このとき

x={X2^2-(aR2)^2+(aR1)^2}/(2*X2),y=-√D/(2X2)
x={X2^2-(aR1)^2+(aR2)^2}/(2X2),y=√D/(2X2)

この２つの点のどちらがが△ABC内にくる点の候補かは
辺AB(y=0の直線)に対してC点と同じ側にあるという条件で決められます。
つまりy座標の符号が同じ方です。
X2>0,Y3>0であれば、
x=xa={X2^2-(aR1)^2+(aR2)^2}/(2X2),y=ya=√D/(2X2)
が△ABCの内側にくる方の点となります。
この座標(xa,ya)を方程式(3)に代入した条件式

(xa - X3)^2 +(yb-Y3)^2=(aR3)^2

を満たすなら、
点(xa,ya)が3円が一点で交差する場合の共有点になります。
z座標を加えると　共有点は (xa,ya,0) ということです。

回答No.1

info22

3つの円が一点で交わる貯めの条件は
(条件1)３つの円の方程式が共有点を持つこと。

今回の問題では共有点の位置の条件として
(条件2)共有点が円の中心を結んでできる三角形の内部にあること。

求める条件は
「(条件1)および(条件2)を併せた条件」
を考えればいいでしょう。

お礼

＞＞3つの円が一点で交わる貯めの条件は
＞＞(条件1)３つの円の方程式が共有点を持つこと。

そうなんです．その条件が分からなかったので知りたかったのですが・・・

もうすこし考えてみます．
素早い回答ありがとうございます．