平衡蒸気圧に関して

質問

半径rの水滴と水蒸気との間の平衡状態における蒸気圧es(r)は、

es(r)=es(∞)exp[2σ/(rRρT)]
es(∞)は平面の水に対する飽和水蒸気圧、σは水の表面張力、Rは水蒸気の気体定数、ρは水の密度、Tは温度。

になるそうなのですが、導けません。
どなたか教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

jamf0421 · ベストアンサー

一つは純粋に力の関係。表面張力をもつ曲がった面の両側では圧力がことなります。（Laplaceの関係式）
p"-p'=2σ/r...(1)
です。p'が曲面の外側（という表現が正しいかどうか判りません。Convex側という言い方もあるような。）の圧、p"が曲面の内側の圧、rがその曲面の曲率半径、σが表面張力です。今の場合p'が水蒸気圧、p"が水側の圧です。これはそんなに難しいことではありません。下に上げたサイトの２．３の通りです。
もう一つは物理化学的関係です。平衡ならば水のμ"と水蒸気のμ'について
μ'=μ"...(2)
です。ここでもし平衡から無限小離れたところに移動することを推定すると、
dp"-dp'=d(2σ/r)...(3)
dμ"=dμ'...(4)
です。ここでGibbs-Duhemの式
s'dT-v'dp'+dμ'=0...(5)
s"dT-v"dp"+dμ"=0...(6)
を使います。温度が一定ならば、(5),(6)と(4)より
v'dp'=v"dp"...(7)
を得ます。これを(3)に代入しますと
(v'/v")dp'-dp'=d(2σ/r)
{(v'-v")/v"}dp'=d(2σ/r)...(8)
となります。ここでv"（水のモル体積）をv'（水蒸気のモル体積）に対して無視します。またv'=RT/p'です。この時(8)は
(1/v")(RTdp'/p')=d(2σ/r)...(9)
となります。これを(1/r=0, p'=po')から(1/r,p')まで積分します。そうすると
(1/v")RTln(p'/po')=2σ/r
即ち
ln(p'/po')=2σv"/rRT...(10)
となります。これが求めるものです。なお、質問者さんの式ははモル体積v"(MKS系ならm^3/mol）の代わりにその逆数(mol/m^3)を使っています。水の場合v"は18x10^(-6) m^3/molですから、これの逆数は5.56x10^4 mol/m^3であることに注意です。No1さんの御指摘にあるように密度(g/ccなど)で考えると辻褄が合わなくなります。

参考URL：

http://heat6.mech.okayama-u.ac.jp/thermal/ronbun/H110.pdf

お礼

お二方ともありがとうございました。助かりました！

回答No.1

okormazd

es(r)=es(∞)exp[2σ/(rRρT)]
なんか足りないところがあるんじゃないか。もう1度よく調べてみて。
expの中の次元が合わない。これではだめだ。

ケルビン式については、下記urlをどうぞ。

file:///C:/Documents%20and%20Settings/ormazd/Local%20Settings/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/4352T2FU/freshmen@TUS(Jun25-07)%5B2%5D.ppt#292,18,Kelvin式の導出(1)