順列の考え方について

質問

数Ａでよく見かける問題に“さいころ”を用いるものがあります。

例１）大小2つのさいころの和がXの倍数となるのはn通りある。

この様な問題はまだ考えるのは難しくないのですが、

例２）大中小の3つのさいころの和がXの倍数となるのはn通りある。

こちらの問題の様に3つのさいころが出来ててしまうと
とたんに難しく感じてしまい、なかなか上手く解くことができません；；
時間も大幅に過かってしまいます。

3つのさいころ（またはそれ以上??）のもので考えるときも、
他と同様に「コレとコレ...を足してXの倍数だ！」と１つずつ考えなくてはいけないのでしょうか？
もっと簡単に、尚且つ速く解く方法はないのでしょうか？

大学受験もあるので（まだ先の事ですが）、
教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

tsuyoshi2004 · ベストアンサー

この手の問題を解くカギとしては、各さいころの目のＸでの割ったときのあまりに着目します。
例えば、Ｘ＝３だとすると
普通に解くと和の候補は３，６，９，１２，１５，１８と６種類になります。
ぱっと見ても３や１８は簡単ですが、９や１２が凄く複雑になります。
従って解き方としては、
和がＸの倍数になるということは
それぞれの目をＸで割ったときのあまりの和がＸの倍数（０を含む）になることであることに着目します。
サイコロの各目は１と４だとあまり１、２と５だとあまり２、３と６だとあまりが０とそれぞれ２通りになります。
和が３の倍数になるのはあまりの合計が０、３，６の場合になります。
あまりが０の場合は、２通りＸ２通りＸ２通り＝８通り
あまりが３になるのは、
　それぞれのあまりが１，１，１の場合２通りＸ２通りＸ２通り＝８通り
　それぞれのあまりが０，１，２の場合が２通りＸ２通りＸ２通り＝８通り
　同様に、０，２，１も１，０，２も１，２，０も２，０，１も２，１，０も２通りＸ２通りＸ２通り＝８通り
従って、あまりが３になるのは８通りＸ７＝５６通り
あまりが６になるのはそれぞれのあまりが全て２しかないので、
２通りＸ２通りＸ２通り＝８通り
従って、３の倍数になる組合せは８通り＋５６通り＋８通り＝７２通り
と解くのも一例です。
（サイコロを大中小と分けないとあまりの和が３のケースで違いが生じます。）
また、Ｘ≧６だと一つずつ解くのと全く同じ手順になります。

回答No.1

nag0720

＞大中小の3つのさいころの和がXの倍数となるのはn通りある。

簡単に解く方法はないでしょうね。
せいぜい、同じ大きさのさいころとして組合せを考えてから６倍（３個の順列）するくらいでしょう。

お礼

簡単に解ける方法は無いのですね；；
残念です…。
これからは１つずつ丁寧に解いていこうと思います！

ご回答、ありがとうございました。