上限や最大元についての質問です。

質問

以下の証明を教えてください。
理解はできるのですが、証明するとなるとよくわからなくなってしまって…

１、極大元は存在したとしても一つでない場合もある。また、最大元が存在すれば、それはＡの唯一の極大言である。

２、Ｍ⊂Ａの上限が存在するなら唯一である。Ｍの最大元が存在れあば、それはＭの上限である

回答No.1

Tacosan

これは上限・上界・極大元・最大元の違いをきちんと理解していればさほど難しくないはずです.
1. 「極大元が複数存在する」場合はいくらでも想定できます. 極端な話, 「どの 2要素も比較できない」という順序集合を考えればいいだけ. 後半は a が最大元であるとすれば「他のどの要素よりも小さくない」ので他に極大元が存在できない (より大きな元が存在するから) ということで終わり.
2. 「上限」=「最小上界」で最小限が (存在するなら) 唯一ということからわかります. また, 上界の定義から M の最大元は「他の全ての上界より小さい」上界であることがわかるはず.

お礼

ありがとうございます！！
もう一度きちんと言葉の定義の理解をしてみます