直交行列による線形変換の問題

質問

以下の画像の問題です。

自分でやってみたところ、

√2u+w=1

という平面になりました。

図示は、x+y+z=1をxyz平面に書いて、それとは別に、上で求めた√2+w=1をuvw平面に書きました。

vが消えてしまったので、図形は、v軸方向に無限に長い平面ということになったのですがどうでしょうか？
計算ミスしている可能性もあって心配です。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#1です。
>変換前後の図形の概形を書け
とありますので描いて見ました。
添付図について
XYZ座標空間に
変換前の平面（水色）　x+y+z=1（z=0の平面との交線も描き込み）
と
変換後の平面（赤色）　(√2)x+z=1(z=0の平面との交線も描き込み）
との概形を描いて見ました。

回答No.2

OurSQL

平面 x + y + z = 1 の法線ベクトル (1, 1, 1) は、この変換によってベクトル (√2, 0, 1) に移ります。
暗算でもなんとか求められそうなので、計算ミスを心配する必要はないと思います。

質問タイトルに同じ意味のことが書かれているように、この線形変換は直交変換。
よって、平面 x + y + z = 1 上の点 (x, y, z) が点 (u, v, w) に移るとすれば、
(√2, 0, 1) と (u, v, w) の内積 = (x, y, z) と (1, 1, 1) の内積
すなわち、どちらも 1 になります。

これより、求める図形は平面 √2u + w = 1 といいたいところですが、これら2つの平面の方程式は同一座標系におけるものなので、文字も統一します。
よって、平面 √2x + z = 1 とかいておきましょう。

ここでは図示は無理ですので、この平面をことばで表現するとしたら、zx 平面上の直線 √2x + z = 1 を含み、y 軸に平行な平面、となります。

回答No.1

info22

> √2u+w=1
これで合っています。

>　図形は、v軸方向に無限に長い平面ということになったのですがどうでしょうか？
それでOKです。

計算ミスは
>上で求めた√2+w=1をuvw平面に書きました
の√2の後に「u」が抜けていること位です。

行列計算の途中計算が書いてないので結果だけでしか、判断できませんが。。。。