ニュートン法を用いたプログラミング

質問

プログラミングの質問です。ニュートン法でf=tx^2+3/2x^4を最小にするx(>=0)をtの関数として求めるプログラムを作成せよ。また実行結果をｔ　ｖｓ　ｘグラフに表せ、とういう問題なのですが、式に文字Xのみが出てくる方程式ならできるのですが、tが入ってきたのでわからなくなってしまいました。どなたか教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

ニュートン法というのは方程式の数値解を求める方法のひとつで
　　x(i+1)=x(i)-F(xi)/F'(xi) (1)
という繰り返し演算によって、近似解を求めるものと記憶しています。
まず解を求めるべき方程式ですが
f=tx^2+3/2x^4
をｘで微分して0とおいて得られる
f'=2tx-6x^(-5)=0
です。
整理して
F(x)=tx^6-3
の解を求めればよい。
(1)のFがこのF(x)です。
F'(x)=6tx^5
よって(1)は
x(i+1)=x(i)-(tx(i)^6-3)/(6tx(i)^5)　　　　　　　　(2)
ある初期値x(0)を適当に定めて(2)の右辺に代入して左辺としてx(1)を求め
これを再び(2)の右辺に代入して左辺としてx(2)を求め......という作業を繰り返して、x(i+1)とx(i)の差が十分小さくなったとき、収束したとして解xとします。

ｔの処理ですがパラメータとして適当な値を設定して、これに対して上記の収束計算をして解xを求めます。次に別の値をｔに与えて同様の計算をすればよい。実際にはt=0.1,0.2,0.3,,,,,,,10位までやってみればよいでしょう。

実はこの問題は解析解があります。
x=(3/t)^(1/6)　　　　　　　　　　　(3)
先ほど実際にプログラムを組んでやってみたら
ニュートン法による収束解のプロットと(3)は完全に一致しました。

楽しい問題です。ぜひやってみてください。