多次元のニュートン・ラフソン法について

質問

質問させてもらいます。
二次元のニュートン・ラフソン法は理解したつもりなのですが。

f(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2　の式が与えられた時、

この場合ニュートンラフソン法はどのように式として示し、証明にいたればいいのでしょうか？

ニュートンラフソン法の考え方を踏襲するのであれば、
x成分、y成分、z成分の各成分について考えればいいのでしょうか？

多くの例題では二変数の連立方程式で……　とかかれてますが、
適用できない気がするのですが……？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

高次元のニュートン法は、f が n 次元から n 次元への写像の場合に
方程式 f(→x) = →0 を解くのに使える技法です。

f が 3 次元から 1 次元への写像であれば、ニュートン法を使うには
何かあと二つ関数 g, h を持ってきて
F(x,y,z) = ( f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z) ) のようにしてから
でないと適用できません。
g, h の選び方によって、ヤコビ行列を作る手間とか、
連立一次方程式を解いて一回漸化する手間とかが大きく変わってきます。
その辺は、職人芸ですね。

あるいは、n 次元から 1 次元への f について f(→x) = 0 を解くなら、
関数 ( f(→x) )^2 の最小値を最急降下法などで求めてみるとか。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E6%80%A5%E9%99%8D%E4%B8%8B%E6%B3%95

それより何より、2x^2 + y^2 + z^2 = 0 の解は
x = y = z = 0 のみであることが自明ですから、
この場合、数値解法の出番は無いのでは？

お礼

ありがとうございます！
参考書等にも目を通し、二変数でもf(x,y),g(x,y)との件がありましたが、やはり次元が拡張されると相応の変数が必要なんですね。

混乱させてしまったのなら申し訳ありません。例題の式は自身のイメージとして設定したので、余り深く気になさらないで下さい。