９と１０の間にある数

質問

ふと中、高生だったころ数学で感じた疑問を思い出しました。
９と１０の間には無数の数があるか？無限の数があるか？
という問いに「無限」と答えたのですが、×で、無数だと言われました。
無数だけど有限で、無限ではないと。

なんででしょうか。

回答No.11

arrysthmia · ベストアンサー

＞ たまたまカウントしなかっただけで
＞ 存在している数は、無限にあるように思うのです。

その先生が、言いかけて説明し切れなかった
「無数」と「無限」の違いは、その「カウント」にあった
のではないか？ と、勝手に想像しています。

いくらがんばってカウントしてみても、９と１０の間に
無限に在る有理数のうち、カウントできるのは有限個だけ
です。ただし、この「有限」には上限が無くて、
どんなに大きい有限個であっても良い。この状況を
「任意有限個」と言ったりもします。
その先生の「無数」の意図は、普通に言えば任意有限個
のつもりだったのではないかと。

でも、任意有限個なのはカウントされた数の個数だけで、
９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。
単に、無限個全部はカウントできない… という話。

これに対して、カウントできないものを存在すると認めて
よいのか？ と疑問視する人たちがいて、その一派は、
無限は「任意有限」の意味でだけ存在する… と考えてしまう
のです。この意味での「無限」を「可能無限」と呼びます。
数学で普通に扱う、実際に存在する無限「実無限」とは
違うものです。

数学というより、哲学の領域ですが。

参考URL：

http://shop.kodansha.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=2147831

お礼

ありがとうございます。

＞カウントできるのは有限個だけです。
そうですね。
でもカウントできないのは私側の事情であって、客観的に存在するのかしないのかには関係ないと思うのです。
今思いついたんですが、たとえば、グーグルマップが東京の明治通りの上いる、とあるアリを撮影することができないからといって、そのアリが存在しないわけではない。みたいな。

＞この状況を「任意有限個」と言ったりもします。
なんと。
「任意有限」なんていう観念があるんですか…。
「可能無限」に「実無限」…いろいろな観念があるんですね。初めて知りました。ありがとうございます。
（それぞれの単語を検索してみましたが、その本当に意味するところは分かりませんでした。）

＞９と１０の間に存在する数の個数は「無限」なんですよね。
そうですよね。そう思うんですが。

回答No.3

sonata1229

無限というのは、
字のごとく「かぎりがない」ということですよね。
つまり、
いつまでたっても、"10"にたどり着かなくなってしまいます。
でも実際には、"9"から進めていくと、いつか"10"になります。
なので「有限」となります。

しかし、９から10を見た場合、
0.1ずつ進めていけば、0.1が10個あれば"10"になりますよね。
0.01ずつだと、100個で"10"になります
0.001ずつだと、1000個
...
...
...
0.000000000001だと…

という風に、"9"と"10"の間、つまり　”1"をいくつに分割するかによって
数も変わってきます。
なので「無数」というふうになるのでは…。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞という風に、"9"と"10"の間、つまり　”1"をいくつに分割するかによって
＞数も変わってきます。
ですよね。
だから、無限に入ってる気がするんですよね。
私が今ここで、「0.1ずつ数えよう」と決めたからって、もともと９と１０の間にある、9.9991とか9.999958さんとかには、関係ないと思うんでうすよね。
私が、どれくらいの間隔で区切って数えるかと、もともと９と１０の間に存在している数は関係ないんじゃないかと。
私がもし「0.1ずつ数えよう」と思ったときは、9.9991が「あるのに」「飛ばして」数えているんです。
あるのに、「勝手に」飛ばしてるだけ。

なので本当は無限な気がするんですよね。

回答No.2

mappy0213

あぁ　難しいですね（笑）
そうですね頭と終わりが決まっているわけですので
有限ですからね　無数となるって所なんでしょうね

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞有限ですからね
有限なんですか？
なんで？なんで？？

だって、９．９９９９と１０の間には、９．９９９９５とかがあるじゃないですか。
９．９９９９５と１０の間にも、９．９９９９５５とかあるじゃないですか。
どうしても、無限に入ってる、というか、きることができる気がするんですが。

あー、なぞだっ。

回答No.1

mojitto

夜空に星は無数（数えきれないほどいっぱい）にあるけど、無限ではない。
というところでしょうね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
比喩ですね。
できれば数学で本当のところが知りたいです。