速さ：単位をそろえる必要性・そろえない必要性

質問

速さで、単位をあわせるべきかどうかの見極めがつかずに解けなかった問題があります。

問
速さの流れが毎時4kmの川がある。この川のある2地点間を往復する船があり、川の流れに沿って下るときは30分、川の流れに逆らって上るときは50分かかる。この船が速さをそれまでより毎時5kmだけ落として、この川を下るとするとかかる時間は何分か。ただし、川の流れの速さは常に一定である。

川の速さは「毎時」4km。川を移動する時間はそれぞれ30＆50分。
そう、それぞれ時間と分とで違うので、単位をそろえる必要があるのです。毎時4kmは、200/3だから、Ｆ＋(200/3)：Ｆ－(200/3)＝5：3
でもこの式を解いても割り切れないのです…（+_+）。

そこでテキストを見ると、Ｆ＋4：Ｆ－4＝5：3　となっていました。
でもこれは、「毎時と分」であるにも関わらず、単位が揃えられていないですよね。

これはおそらく、「単位をそろえてはいけない問題」ということだと思うのですが、なぜ単位をそろえると解けないのですか。また、何をヒントに単位をそろえてはいけないという見極めがつくのですか。
宜しくお願い致します。

回答No.11

tsuyoshi2004

＃７です。

＞なんでこの問題は、「そろえなくていい」ってことになるのですか？

一言で言えば、問題はあくまでも比率だけで解ける問題だからということでしょう。

ここから先は理科の内容になりますが、単位とはいくつかの基本単位を除けばあとはその組合せで現しているに過ぎません。
例えば、
速さ＝距離／時間
なので、
距離＝速さＸ時間
になるのは明白です。ではここで、時速４ｋｍに３０分をかけるとどうなるかというと
４ｋｍ／ｈＸ３０分＝１２０ｋｍ分／ｈ
となります。
一方で、ｈ＝６０分なので、これを代入すれば、
１２０ｋｍ分／ｈ＝２ｋｍ
となりますし、逆に分＝ｈ／６０を代入しても
１２０ｋｍ分／ｈ＝２ｋｍ
と答えは同じになります。
ところが、今回の問題では、最終的に求めるのは時間（分）なので、距離の単位がｋｍではなく、ｋｍ分／ｈという単位でも結果は変わりません。

お礼

ありがとうございました。

回答No.10

jamf0421

No2です。
>…てことは、僕の考え方であってたってことですか…？

”あってた”かと言われるとちょっと問題です。質問者さんご自身が、（実際は解けているのに）質問の中で

>なぜ単位をそろえると解けないのですか。

と書かれています。

単位がついている数字同士の演算で、単位が揃っていなければならないのは和と差です。たとえば1 mから1 kgは引けません。しかし積、商は揃っている必要がありません。次元についても同じ演算をするだけです。たとえば5(m)x6(m)=30(m^2)あるいは3(g)÷5 (cm^3)=0.6 (g/cm^3)のように。
勿論、右辺と左辺に分かれたものは単位が揃っていなければなりません。

因みにテキストの
(F+4)/(F-4)=5/3
という式は、考え方も正しく、式も上記の単位の扱いについての要件を満たしています。

お礼

>なぜ単位をそろえると解けないのですか。
と書かれています。

割り切れないので不正解かと思ってしまいまして…
でも、はじめにたてたあの式であっていたようなので、少し
安心しました。ありがとうございました。

回答No.9

owata-www

＞毎時4kmは、200/3だから、Ｆ＋(200/3)：Ｆ－(200/3)＝5：3
ここまでは合ってます

＞でもこの式を解いても割り切れないのです…（+_+）。
ここは間違ってます。割りきれなくても問題ないです（というよりそもそも川の速さも割り切れてませんし）

お礼

＞ここまでは合ってます

そうだったんですか～（@_@;）。ありがとうございました。

回答No.8

noname#111804

しかし、私もやりそうな、早とちりですね。
当初の式でも８００/３（ｍ/分）と出るのだが
先入観で、整数で出ると思います。

試験に出たら、解けないと思って次の問題に移りそうです。

お礼

ありがとうございます。

えぇーっと、よくわからないのですが。「早とちり」とありますが、やはり僕の考えは間違っていたということなのでしょうか？

回答No.7

tsuyoshi2004

単位は合わせようが合わせまいが解ける問題のはずです。
Ｆ＋4：Ｆ－4＝5：3
は
Ｆ＋4(km/h)：Ｆ－4(km/h)＝５０(分)：３０(分)
でも、
Ｆ＋4(km/h)：Ｆ－4(km/h)＝５０／６０(時間)：３０／６０(時間)
更には
６０（Ｆ＋4）(km/分）：６０（Ｆ－４）(km/分）＝５０分：３０分
でも、同じです。

またまた、違うアプローチで問題を考えると・・・
２地点の距離をＤkm、流れの無いところでの船の速さをＶkm/hとすれば・・・・
Ｄ＝（３０／６０）（Ｖ＋４）
Ｄ＝（５０／６０）（Ｖ－４）
従って、１／２Ｖ＋２＝５／６Ｖ－１０／３
１／３Ｖ＝１６／３
Ｖ＝１６(km/h)
故に
Ｄ＝（１／２）（１６＋４）＝１０(km)
求める時間をＴ分とすると
Ｔ／６０＝１０／（１６－５＋４）＝２／３
Ｔ＝４０(分）

お礼

ありがとうございます。

でも、問題によっては、「単位をそろえないといけない」と解説されている問題のほうが多いですよね。だから、この問題もそろえなければと考えたのです。

なんでこの問題は、「そろえなくていい」ってことになるのですか？

回答No.6

Ishiwara

「単位をそろえてはいけない」という場合はありません。そろえたほうがいいに決まっています。
しかし「とりあえず、そろえなくていい」という場合はあります。

迷ったら「そろえる」ことです。ただし、なるべく計算は後回しにします。たとえば、時速５キロを分速で表現するときには、とりあえず（５/６０）キロ/分としておき、（）の中は最後まで計算をしないことです。早い段階で計算しようとすると、端数が出てやっかいです。たいていの問題は、最後にスッキリした数値になるものです（そうでないのもありますが、それでも計算は最後のほうが良い）。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

felicior

比は約分できることをご存知ですよね。
実は比は単位も約分できます。つまり、
50分：30分＝50時間：30時間＝50円：30円＝50m：30m＝・・・
これらはそれぞれ「：」の左右の単位が同じなので
その単位で約分すればすべて５：３になります。
もちろん50分：30時間などであれば単位を揃えてから約分する必要はありますが。
つまり「：」の左右は少なくとも同じ「種類」の単位である必要はありますが
比の式においては「＝」の両辺の単位は種類すら違ってよいのです。
（今回は左辺が速さで右辺が時間）

むしろ揃えるべきは「＋」や「－」の左右の単位です。
単位が違うものを足したり引いたりすることには意味がありません。
Ｆ＋４と書けばそれは暗黙のうちにＦは４の単位（時速）と同じだと言っていることになり、
Ｆ＋(200/3)と書けばＦは200/3と同じ単位（分速）ということになります。

お礼

ありがとうございます。

つまり、「時間＝分」で問題なかったってことですね。
だから、「分＝分」にした解こうとした僕の式も、同時にあっているということですか。ややこしいですね（@_@;）

回答No.4

arrysthmia

Ｆ＋4：Ｆ－4＝50：30 で、単位は揃っています。
A:B=C:D という式は、(A/B=C/D or B/A=D/C) という意味なので、
右辺を 50[分] : 30[分] と、割れば単位のない比にしたら、
左辺「 : 」の左右も単位が同じでなくてはなりません。
F+4 も F-4 も単位は [km/時] ですから、これを満たしていますね。
足し算・引き算も、単位を揃えねばなりませんから、
この場合、F の単位は 4 と同じ [km/時] です。

A,B,C,D の単位を全て揃えねばならないと思い込んでしまっている
のだとしても、Ｆ＋(200/3)：Ｆ－(200/3)＝50：30 としたところで
左辺は [m/分]：[m/分]、右辺は [分]：[分] ですから、ちっとも
揃っていません。考え方が、一貫していませんね。

また、
＞ なぜ単位をそろえると解けないのですか
とのことですが、Ｆ＋(200/3)：Ｆ－(200/3)＝50：30 でも
ちゃんと問題は解けます。
足し算・引き算も、単位を揃えねばなりませんから、
その場合、F の単位は 200/3 と同じ [m/分] になりますが、
最後に単位換算して [km/時] にすれば、
Ｆ＋4：Ｆ－4＝50：30 から求めたのと同じ値になっています。

答えが自然数でなかったら「解けない」とか「間違えた」とか
考える癖も、いつかは卒業したほうがよい。

お礼

ありがとうございます。

☆Ｆ＋4：Ｆ－4＝50：30
これは「時間：分」で一致していない、と考えました。

△Ｆ＋(200/3)：Ｆ－(200/3)＝50：30
としたところで左辺は [m/分]：[m/分]、右辺は [分]：[分]
ですから、ちっとも揃っていません。考え方が、一貫してい
ませんね。

◎Ｆ＋(200/3)：Ｆ－(200/3)＝50：30
でもちゃんと問題は解けます。

…ん～と、つまり、僕の考えはあっていたのですか？それとも
間違っているのですか？（@_@;）

補足

すみません、書き漏らしです。

△の式は、「分＝分」で、両方、分になっているので一致していると考えました。

回答No.3

Tacosan

「単位がそろっていない」というのはどういう意味?
ひょっとして F+4:F-4 は単位が km/h だけど 5:3 は単位が分だと思ってる?
じゃあ,
F+4:F-4=50/60:30/60
なら問題ない?
加減算をする関係で「船の速度」と「川の流れ」は単位をあわせないとダメですが, それと「所要時間」は必ずしも一致させる必要がないよね.
って～か, こんなの「距離=速度×時間」だけで解ける.

お礼

ありがとうございます。

＞ F+4:F-4 は単位が km/h だけど 5:3 は単位が分だと

そういう風に考えました。違うんですか？

回答No.2

jamf0421

>Ｆ＋(200/3)：Ｆ－(200/3)＝5：3
別にこれでもFが分速800/3 m/minとして出て、これを時速になおせば
>Ｆ＋4：Ｆ－4＝5：3
から出てくる時速のF=16 km/hに一致します。
(F+4):(F-4)=5:3
は両辺とも割り算です。左辺が時速同士で割って無次元、右辺が分同士でこれも割って無次元です。

お礼

…てことは、僕の考え方であってたってことですか…？
ありがとうございました。