並べ方の問題

質問

赤，青，黄のキャンディーが各々大小1つずつ合計６個ある.これらを1列に並べるとき，同じ色のキャンディーが隣り合わない並べ方は何通りあるか.

という問題なのですが、解法と解説、考え方をお願いします。

回答No.9

lmsjdff · ベストアンサー

>その式の考え方をお願いします。

次のように考えればいいと思います。
すべての並べ方の集合をSとします。　
さらに、Sのうち、
赤が隣り合うようなものの集合をA,
青が隣り合うようなものの集合をB,
黄が隣り合うようなものの集合をC,　
とします。
また、Aの補集合をcomp(A),
Aの元の個数を|A| というように書くことにします。
求めたいものは、|comp(A)∩comp(B)∩comp(C)| です。

|comp(A)∩comp(B)∩comp(C)|
=|comp(A∪B∪C)| (ド・モルガンの法則)
=|S|-|(A∪B∪C)|
=|S|-(|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|) (包除原理)
=6!-(3*5!*2-3*4!*2^2+3!*2^3)
=240.

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%85%E9%99%A4%E5%8E%9F%E7%90%86

お礼

すばらしい!
非常にわかりやすい説明に感謝いたします。
目からうろこが落ちました。
説明どおりに自分でもベン図を描いたり計算をしてみて見事答えを出せました。

最後に質問なのですが、この包除定理やド・モルガンの定理というのは高校で習うものなのでしょうか。

回答No.10

noname#227064

No.8です。

> 隣り合わない並べ方・・・30通り
> それぞれの色（三種類）の内部で大小の入れ替えをするので2!*2!*2!> よって
> 30*2!*2!*2!=240
> という事でよろしいでしょうか。

あっています。

すべての並べ方が6!通り。
キャンディーの大きさが2種類なので、大きさを無視すれば組み合わせは6!/(2*2*2)=90通り。
色が3種類なので最初の1個を固定すれば、90/3=30通り。
この30通りの組み合わせの中から隣り合わない組み合わせを数えて3*2*2*2をかければいいというのがNo.8の方法です。

実は、最初の1個を色A、2個目を色B、残りの色をCとすればたった15通りを調べればよかったりします。
（2個目は必ず1個目とは色が異なる）
この場合可能な組み合わせは、
ABA***
AB*A**
AB**A*
AB***A
とAの配置を考えた後、
ABACBA
ABCA** →　ABCABC, ABCACB
ABCBAC
ABCBCA
の5通りしかないことがわかります。
したがって、色と大きさの組み合わせから求める組み合わせの数は、
5*3!*2*2*2=240通り
となります。

お礼

これなら僕のやった方法よりもさらに楽ですね。
いろいろな考え方があって面白いです。

皆さんの助言により自分なりに考えて問題を解決することもできました。

皆さんどうもありがとうございました。

回答No.8

noname#227064

キャンディーの大きさは考えないで、最初のキャンディーの色を赤青黄のどれか一つに固定して、同じ色が隣り合わない並べ方をすべて書き出してみてください。
そのあと、キャンディーの大きさと色の組み合わせから求める組み合わせの数を計算してみてください。
これなら大した手間はかからないはずです。

お礼

ありがとうございます。教えてもらった方法、有効的でした。
すべてを書き出すよりもかなり手間が省けました。

ところで答えのほうなのですが。

隣り合わない並べ方・・・30通り
それぞれの色（三種類）の内部で大小の入れ替えをするので2!*2!*2!　
よって

30*2!*2!*2!=240

という事でよろしいでしょうか。
一応答えは合っているのですが。

回答No.7

koko_u_

>ためしに全部書き出そうとしましたが、えらい骨ですよこれは。
>正確に全部書き出すのもちょっと自信がありません。

そう。
「正確に」書き出すにはどうすれば良いかを考えることで学習が進むでしょう。

回答No.6

lmsjdff

>もうちょっとスマートに計算で答えを出したいのです。

答えを出すだけならば、包含と排除の原理を使って解けば
いいです。
計算式と答えは
Σ[k=0,3]C(3,k)*(-1)^k*(6-k)!*2^k
=6!-3*5!*2+3*4!*2^2-3!*2^3
=240

お礼

高等教育を受けていないものでちょっと良くわかりませんでした。

6!が考えられうるすべての組み合わせということは解ります。
-3*5!*2+3*4!*2^2-3!*2^3という数字が同じ色のキャンディーが隣り合う場合の数ということも解ります。
でもなぜそういう式になるのかがわからないのです。

その式の考え方をお願いします。

回答No.5

koko_u_

>もうちょっとスマートに計算で答えを出したいのです。
ものごとには順番というものがあるんじゃよ。

まずはキッチリ場合の数を数え上げられるようになってから「スマートな方法」を考えるんじゃ。

お礼

ためしに全部書き出そうとしましたが、えらい骨ですよこれは。
正確に全部書き出すのもちょっと自信がありません。

回答No.4

FEX2053

>なので逆の事象を考えても、あんまり手間は減らないような気がする。

実際にやってみると確かにその通りですね。考え方は楽なのですが。
とりあえず、色とか大小はテキストでは表現しづらいので、[x]を
一つのキャンディと考えて・・・ですね。

[A][a][B][b][C][c]

これらの６個を並べる場合の数から、２つを組み合わせて１つと
考える（[Xx]をまとめて一つと考える）場合の数、即ち

[A][a][B][b][Cc]
[A][a][Bb][C][c]
[Aa][B][b][C][c]

の５個を並べる場合の数、３種類と

[Aa][Bb][C][c]
[Aa][B][b][Cc]
[A][a][Bb][Cc]

の４個を並べる場合の数、３種類

[Aa][Bb][Cc]

の３個を並べる場合の数、１種類を控除するんですから確かに面倒です。

ですが、６個ではなく、２ｎ個という問題になった場合は上記のような
発想をしないと出てこないような気がします。

まあ、この程度の数なら、全部書き出すほうが多分簡単に出てきますし、
私もそっちをお勧めしますけどね。

お礼

お勧めされた方法は言われるほど簡単ではありませんでした。途中であきらめました。
どうか上に示された方法を詳しく教えてください。

回答No.3

koko_u_

>隣り合う場合＝並んだ同じ色のキャンディー２つを１個と考える、
単純に計算すると「すべての色のキャンディが隣合う」場合になりそう。

今回は「赤のキャンディも隣合わず」「青のキャンディも隣合わず」「黄のキャンディも隣合わず」のケースを求める必要があると思う。

なので逆の事象を考えても、あんまり手間は減らないような気がする。

回答No.2

FEX2053

>わかんない時は、並べ方であり得る場合をすべて紙に書く。

非常に正しい方法で、少数の場合は実務的にもしばしば行われます。
書き出した過程をしっかり書けば、テストとしても誤りじゃないです。

ただ、こういう場合の常套手段として「全体から条件が成立しない場合
を控除する」という方法だと容易に解答が得られる場合ばあります。
今回の場合も「全部の組み合わせから、隣合う場合を引く」と考えると
簡単なんじゃないですか？

隣り合う場合＝並んだ同じ色のキャンディー２つを１個と考える、で
計算出来ますからね。

お礼

>「全体から条件が成立しない場合を控除する」という方法
この条件が成立しない場合の数をどう弾き出せば良いのかが解らないのです。

そこの部分の計算方法を詳しくお願いします。

回答No.1

koko_u_

>考え方をお願いします。

わかんない時は、並べ方であり得る場合をすべて紙に書く。

お礼

720通り全部紙に書くのはちょっと骨が折れますね。もうちょっとスマートに計算で答えを出したいのです。