相続税がかかるほどの物件を相続していながら、放置していたのはまずかったですね。それも、競売にかかるというのは、再三の督促を無視していたということでしょうか。
ともあれ、過去のことをいっても始まりません。
（１）まずは国税局に出向いて、これまでのことを謝罪し、売却の方向で努力するからもう少し待ってほしいとお願いしてみるとよいと思います。
（２）その上で、一度お住まい最寄りの税理士会に相談してみてはいかがでしょうか。
「できることなら現状のまま、ここに住まわせてほしい」というお気持ちはわかりますが、相続税を逃れることはできません。
自宅を相続して相続税がかかるというのは、相当な高額物件である証拠です。しかも、相続税が払えないということは、自宅が唯一の相続物件であったということなのでしょう。
そうである以上、売却して他に住むしか方法はないと思います。イヤでも、早晩強制されてしまいます。v008さんがおっしゃるように、公営住宅の申し込みをした方がよいと思います。
なお、売却がうまくいけば、相続税とその延滞税を払って、多少は手もとに残るかもしれません。そのあたりは、相場を調べてください。
競売にかけても売れないというのは、昨今のご時世もありますが、ご質問者の家族が現状住んでいるということも売れない原因でしょう。
売りに出してもどうしても売れない場合は、業者買い取りという方法もあるかもしれません。よい物件でないと買ってくれませんし、もちろん価格は下がりますが、とにかく再出発を期さなければならないのですから、国税局から放り出される前に、ご自分で手を尽くされたほうが、悔いが残らないと思いますよ。
「わずかな退職金で食いつないでいる」そうですが、退職金すら支払われないで放り出された人もたくさんいるのです。物事の暗い面ばかりを見ないで、立ち上がってください。他人と比べることも、してはいけません。あなた方家族は、世界にたった一つの大切な家族なのです。
お子さんたちもまだ学生なのでしょう？ 親の努力する姿を見せて上げてください。きっと理解してくれるはずです。
お礼
有難う御座います、一部参考に成りました。この問題もう5年も引きずってます。国税も担当者何にも変わりましたけど解決できないです。一つに海外は投資したものが有るのに、それが使えないという不備な制度があることだと思います。国内に無いなら有る所から使える制度にしてもらいたい。引き上げて回す資金も無いです。最低済む所位残すべきだ。