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０の０乗は１、にしたい
０の０乗の値について、過去に色々な質問がありますが、結論としては不定というのが多いみたいです。 でも、素朴な疑問として、１として問題があるのかな、と思いました。 そこで、べき乗の定義を ｘ＾０＝１ ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ （ｎ≧１） としてしまえば、０＾０は当然１になります。 この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？
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ANo.14です。 > そして、この式は以前の式より、より０＾０に近づいており、より１に近づいています。 > > つまり、元の式よりも０＾０に近くて、結果が１に近いような式が作れるので、これだけでは、０＾０＝１を否定することはできないのです。 その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。 f(x) = 1 (x ≠ 3) -1 (x = 3) とすれば、x → 3 ± 0の時、f(x) → 1ですが、f(3) = -1です。 私が0^0 = 1としたくないのは、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフがきれいでなくなるからです (とはいっても、y = (5^(-1/(x^2)))^(-x^2)のグラフは横直線なので、あまり面白い形ではありません。 本当はもっと良い関数を例としてあげたかったんですが)。 たった、それだけの理由です。 情報理論の「エントロピー」と呼ばれるものの話では0^0 = 1を用います。 エントロピー関数H(x) = -xlogx - (1-x)log(1-x) (0 ≦ x ≦ 1) のグラフは、0^0 = 1を採用すると綺麗になります (x = 0, 1の時、0log0が出てきます。この0log0を変形すると、log(0^0)となります)。 x → 0の時のxlogxの極限値は0ですし、x → 1の時の(1-x)log(1-x)の極限値も0です。 なので0log0 = log(0^0) = 0（結局、0^0 = 1）を採用するとグラフが0 ≦ x ≦ 1の範囲で連続となり、綺麗なグラフになります。 また「エントロピー」という言葉の意味からも、そうした方が都合が良いです。 しかし、0^0 = 1が他の話で都合よく働くとは限りません。 すでに0^0の極限値が5となるような関数の例を紹介しましたが、 そのような関数を採用した何かを考える時は0^0 = 5を採用した方が自然だと思います。 なので私自身は、0^0 = 1と固定したくないだけです。 「不連続は不自然だから嫌」というだけの理由です。 > この定義の仕方には、問題があるのでしょうか？ 色々考えてみましたが、今のところ矛盾点は見つかりません。
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- Ishiwara
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＃６です。 >>（Ｂ）０＾ｙ＝０という定義とは > こんな定義はありません。幻です。 私が「すべてのｙについて（Ｂ）が成立する」と主張しているのでないことは、文面で明らかだと思ったのでが、誤解されたようですね。省略せずに書けば、次のとおりです。 すべてのｘについて「（Ａ）ｘ＾０＝１」と定義しようとし、かつ すべてのｙについて「（Ｂ）０＾ｙ＝０」と定義しようとすれば、 ｘ＝０かつｙ＝０のときに矛盾を生じます。そこで… > Ｂが自然な定義と思うのは、まったくの誤りです。 「Ｂが自然に成立する」とは言っていません。ＡとＢが矛盾し、どちらかが譲歩する必要が生じて、ＡとＢを比較すると、ＡはＢよりも人工的、ＢはＡよりも自然的な発想なので、Ｂを採るほうが数学体系上の「傷」が小さいのではないか、という感想を述べたものです。 > ｙ＜０の時、この値は計算できません。 もちろんそうです。しかし、目前の議論はＡとＢの接点における「局地的国境紛争」なのですから、そこに絞るべきです。それ以外のことは、例えば「０＾ｙ＝０とする。ただしｙ＞＝０とする。」で済む話です。
お礼
＞（Ａ）ｘ＾０＝１という定義 こちらは、すべての実数ｘについて定義できます。 ＞（Ｂ）０＾ｙ＝０という定義 こちらは、ｙ＞０である実数ｙについての定義です。 さらに、ｙ＜０である場合には、計算できません。 定義域について、これだけ有利不利がはっきりしているのに、Ｂの方が自然であるという主張に、私は疑問を持ちます。 ＞「０＾ｙ＝０とする。ただしｙ＞＝０とする。」で済む話です。 本来ｙ＞０でしか定義できない関数について、無理やりｙ＝０の場合だけを付加するのは、人工的に見えてしかたありません。 もう一度言い換えると、ｘ＝０の点以外で連続な関数Ａに、矛盾しないｘ＝０の点での値を定義することと、ｙ＝０の点では明らかに不連続な関数Ｂに、ｙ＝－０の値を無視して、ｙ＝＋０の値で定義することが、同列に論じられるとは思いません。 なんだかくどい説明になりましたが、分かってもらえませんか？ ありがとうございました。
- debukuro
- ベストアンサー率19% (3634/18947)
＞０の０乗は１、にしたい したければどうぞお好きなように
お礼
無駄なコメントは好きではありませんが、 したければどうぞお好きに。 ありがとうございました。
- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
（Ａ）ｘ＾０＝１という定義と （Ｂ）０＾ｙ＝０という定義とは ｘ＝０かつｙ＝０のとき衝突します。 そこで、０＾０を１とするか０とするか（つまり、Ａ・Ｂのどちらを優先するか）が必要となります。 実は、どちらに決めても、数学の体系は構築できたのです。 どちらにしても「ただし、…は０でないものとする」という記述があちこちで必要になります。しかしＢを優先させたほうが、このような言い訳が少なくて済みます。それは、Ａが人工的な定義であるのに対して、Ｂのほうが自然な定義だからでしょう。
お礼
＞（Ｂ）０＾ｙ＝０という定義とは こんな定義はありません。幻です。 すぐ分かることですが、ｙ＜０の時、この値は計算できません。 それなのに、ｙ＝０の時もこの式が成り立つという考えは変です。 Ｂが自然な定義と思うのは、まったくの誤りです。 ありがとうございました。
- yaemon_2006
- ベストアンサー率22% (50/220)
0^0 == 1 0/0 == (0^1)/(0^1) == 0^(1 - 1) == 0^0 == 1 3 * 0 == 0 3 == 0/0 == 1 3 == 1 ？
お礼
＞0/0 == (0^1)/(0^1) == 0^(1 - 1) == 0^0 == 1 ０／０と何かを＝で結ぶことがそもそもの間違い。 （それ以外の問題点は、実力不足で見えていませんが…） 0/0==0*0/0==(0^1)*(0^1)/(0^1)==0^(2-1)==0^1==0 というように、0^0を使わなくても変な式ができます。 ありがとうございました。
- jmh
- ベストアンサー率23% (71/304)
> 結論としては不定というのが多いみたいです。 > 未定義だと思います。不定形ってのは「極限が求めにくいヤツ」ですよね？ > １として問題があるのかな、と思いました。 > ないと思います。便利になります。逆に「０^０＝９９とする」と何か問題があるの？ > そこで、べき乗の定義を… > 「０＾０＝１、他は皆んなと同じ」ということを示してください。
お礼
参考ＵＲＬは既に参照しています。 ＞不定形ってのは「極限が求めにくいヤツ」ですよね？ ０＾０を極限値として考える、ということに納得してないもので。 極限値には、退場してもらっています。 ＞逆に「０^０＝９９とする」と何か問題があるの？ ９９が特別の数になります。 あえて言えば、そんなの嫌いというのが（私にとって）問題です。（笑） ＞「０＾０＝１、他は皆んなと同じ」ということを示してください。 ０＾０＝１ ０＾１＝０＾０×０＝０ ０＾２＝０＾１×０＝０ １＾０＝１ １＾１＝１＾０×１＝１ １＾２＝１＾１×１＝１ ２＾０＝１ ２＾１＝２＾０×２＝２ ２＾２＝２＾１×２＝４ ……こういうことの証明でしょうか？ それは、私の手には余りますね。 ０または正の整数では、成り立つようですが……
- orcus0930
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#2です。 べき乗 ないし 指数は既に定義があるので、 a^0=1 と定義したなら、それは 「別の数」です。 べき乗と呼ぶべきではありませんね。 逆に、0^0を定義しないと何か困るんですか?
お礼
＞べき乗 ないし 指数は既に定義があるので、 ＞a^0=1 と定義したなら、それは ＞「別の数」です。 すみませんが、理解できるように理由を言ってください。 少なくとも、これがべき乗の定義として矛盾を含んでいるので採用できない、くらいのことは。 そうでなければ、先に定義した人がそう決めた、としかいっていないように感じます。 ありがとうございました。
- orcus0930
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Wikipediaによれば、指数は a^1 = a a^(p+q)=a^p*a^q で定義されています。 a^nはp=1,q=n-1として帰納的に考えられます。 0^0=1としたい人は結構私のまわりにもいますが、 それは、0/0=1とすることになってしまいます。 p=0,q=1として、 a^1=a^0*a^1 a=a^0*a a=0として、 0=0^0 * 0 0^0=0/0 です。 極限とは全く別の話になるので、0^0=1としたければ、 0/0=1ということを認めなければならないでしょう。
お礼
＞0^0=1としたい人は結構私のまわりにもいますが、 ＞それは、0/0=1とすることになってしまいます。 これは、定義がa^1から始まるからです。 最初の定義にa^0を入れてしまえば、0/0という計算は出てきません。 問題は、この定義に無理があるかどうかです。 定義が変えられないなら、しかたないですけど… ありがとうございました。
- u-don
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０か１かは利便性における定義の問題だと思いますが、基本的には不定形が一般的かと。。 ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）ｘ （ｎ≧１） それと上の式ですが、変形すると ｘ＾ｎ＝ｘ＾ｎ になりますよ・・・ 左辺は右辺の式と同じ形なので証明に使う式にはなりえません
お礼
一般的なものがどうなっているか、の話ではありません。 ＞ｘ＾ｎ＝ｘ＾ｎ になりますよ・・・ 両辺が等しくなければ、それこそ変ですが… ありがとうございました。
補足
＞ ｘ＾０＝１ ＞ ｘ＾ｎ＝ｘ＾（ｎ－１）×ｘ （ｎ≧１） ２つ合わせて、帰納的なべき乗の定義です。
お礼
なるほど。おっしゃりたいことがよく分かりました。 なかなか深い意味があったのですね。 でもご安心ください。そのグラフはｘ＝０では定義されていませんから、（ｘ＝０、ｙ＝１）という点は存在しません。 よって、横直線であることに変わりはありません。 （屁理屈かもしれませんが…） この場合でも、０＾０＝５を採用する必要はないのです。 もしこれが、ｘ＝０でも式が定義されていて、そのグラフが０＾０＝１では不自然になるという例が存在したならば、その時は、今回の定義を取り下げさせていただきます。 ＞その話を持ち出すぐらいなら、いっそのこと『極限値と実際の値は異なる場合もある』という話をした方が良いでしょう。 いいえ。極限値に実際の値と同じものがある、という条件は外せません。そうでなければ、１が自然な値とは言えませんので。 エントロピー関数の例も、興味深く拝見しました。 ありがとうございました。