XOR をNAND素子のみを用いて表したい

質問

XOR をNAND素子のみを用いて表したいのですが、５個であらわすことはできたのですが、４個で表すことはできるのでしょうか？？
唐突な質問ですみません。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#1,#3です。
A#3の補足質問について

2つの式が等しい事を示す方法は次の2通りあります。

１）論理式をブール代数のド・モルガンの公式（定理）を使って簡単化して、ともに
(A∧(￢B))∨((￢A)∧B)
となることを示す方法
この場合、演算順序は優先の高い順に行います。
論理演算子の優先度
[1] 括弧、内部の括弧の方が優先度が高い
　[2]　not（￢)
[3] and (∧)
　[4] or (∨)

２）真理値表が同一（XORの真理値表）になることを示す方法
　すなわち、(A,B)=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)の４つの組合せに対して
　2式が等しくなる事を示せばいい。なお、0=L,1=Hのことです。

１）の方法では

> ￢((￢(A∧(￢(B∧B))))∧(￢(B∧(￢(A∧A)))))
=￢((￢(A∧(￢B)))∧(￢(B∧(￢A))))
=(￢(￢(A∧(￢B))))∨(￢(￢(B∧(￢A))))
=(A∧(￢B))∨(B∧(￢A))

> ￢((￢(A∧( ￢(A∧B) )))∧(￢(B∧(￢(A∧B)))))
=￢((￢(A∧( (￢A)∨(￢B) )))∧(￢(B∧( (￢A)∨(￢B) ))))
=￢((￢(A∧(￢B)))∧(￢(B∧(￢A))))
=(￢(￢(A∧(￢B))))∨(￢(￢(B∧(￢A))))
=(A∧(￢B))∨(B∧(￢A))
これで同じXORの論理式になったね。

２）の方法は自分でやってみてください。

お礼

理解できました！
本当にありがとうございました

回答No.4

arrysthmia

A xor B = { A nand (A nand B) } nand { B nand (A nand B) }
と書くと、nand が５個に見えてしまいますね。
A xor B = (A nand C) nand (B nand C),　C = A nand B
の意味なんだろうけれど、一本の式では書きにくい。
回路図で書いたほうが見やすいんでしょうが。

ところで、入力の A と B を
(A nand C) nand (B nand C) と A nand B のそれぞれへ
分線して結線するために、アンプを使わなくてよいのでしょうか？
アンプを nand で構成すると、nand は計６個になりますが…

回答No.3

info22

#1です。
A#1で回答した次の論理式が4NAND構成のXORの論理式表現です。

￢((￢(A∧(￢(A∧B))))∧(￢(B∧(￢(A∧B)))))

正しいですよ。
なお、閉じ括弧「)」が2箇所抜けて数が合いませんでしたので補ってあります。

式どおりに論理回路図を描いて見てください。
なお、式中「￢(A∧B)」が2箇所に現れますが同一回路であることに注意ください。

>　￢((￢(A∧(￢(B∧B))))∧(￢(B∧(￢(A∧A)))))
> ではないのでしょうか？？
これは間違い。閉じ括弧「)」を2箇所追加し正しい論理式に直しました。
これは5NAND構成のXOR回路になりますので質問の趣旨に合わないでしょう。

4NAND構成のXOR回路はデジタル回路（論理回路）のテキストや参考書に良く載っていますよ。参考URLの中の4NAND回路がNAND構成のXOR回路です。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/XOR_gate

補足

何度も失礼します。
￢((￢(A∧(￢(B∧B))))∧(￢(B∧(￢(A∧A)))))と
￢((￢(A∧(￢(A∧B))))∧(￢(B∧(￢(A∧B)))))
が等しいことはブール代数表現を使ってどう示せばよいのでしょうか？？
ホントあつかましくてすみません。

回答No.2

Tacosan

有名 (?) なネタですね. 答えは #1 の通り. これを回路にすると NAND は 4個です.
ところで, ￢((￢(A∧(￢(B∧B)))∧(￢(B∧(￢(A∧A)))) は NAND を 5個使ってるような気がするんですが, 今は「4個にする」のが目的じゃないんでしょうか?
まあ, 単純に「(NAND の数は無視して) XOR を作りたい」というだけならこれでできてますけど....

回答No.1

info22

以下の接続をすればNAND4素子でXORが組めます。

￢((￢(A∧(￢(A∧B)))∧(￢(B∧(￢(A∧B))))

補足

誠に恐れ入りますが、
￢((￢(A∧(￢(B∧B)))∧(￢(B∧(￢(A∧A))))
ではないのでしょうか？？
間違ってたらホントごめんなさい。