静電気力がする仕事
真空中で、下図のようにx軸、y軸をとり、原点Oに電気量Q[C](Q>0)の点電荷を固定する。点A, B, Cはx軸上の点、点Dはy軸上の点であり、r[m]は点Aのx座標である。クーロンの法則の比例定数をk[N•m^2/C^2] とし、重力の影響を無視する。
問
点Dから点Bまで、電気量q[C](q>0), 質量m[kg]の点電荷Pをゆっくりと移動させるとき、静電気力がする仕事と、外力がする仕事を求めよ。
外力のする仕事は、q(kQ/2r-kQ/r)=-kqQ/2rで、ゆっくり動かすのだから、静電気力と外力は釣り合っていて、(静電気力のする仕事)=-(外力がする仕事)=kqQ/2r となるのはわかります。
静電気力のした仕事を ∫ F dx の形から求めるやり方を考えてみました。↓
OP=aとすると、Qがqに及ぼすクーロン力は kQq/a^2と表され、直線DBのD→Bの向きとOPのなす角をθ, DP=xとすると、静電気力がする仕事は、
∫[0→√5r] (kQq/a^2)cosθ dx
と表される。
△DPOに余弦定理を用いると、
a^2=r^2+x^2-2rxcos(角DPO)
=r^2+x^2-2rx/√5
同様に、
cosθ=(x^2+a^2-r^2)/2ax
∴ ∫[0→√5r] (kQq/a^2)cosθ dx
=∫[0→√5r] {kQq/(r^2+x^2-2rx/√5)}*{(2x^2-2rx/√5)/2x√(r^2+x^2-2rx/√5)} dx
この複雑な積分を計算したら kqQ/2rになるんでしょうか?
自分のやり方が間違っていますか?
