現在、妊娠15週（４ヶ月）で８月に退職ということですと
妊娠８ヶ月で退職されることになりますね。
出産一時金の請求は、よほどの理由がない限り（貸付制度利用など）
分娩後に請求することになりますので
現在加入されている保険が社会保険であれば
直接、質問者様が社会保険事務所に出向いて請求することは可能です。
質問者様ご本人が管轄の社会保険事務所に足を運ばれ
「出産育児一時金請求書」か「配偶者出産育児一時金請求書」
をもらい、それに記入した後、分娩をされた病院から分娩証明書
（市区町村長発行の出生届日証明などでも可）と共に
社会保険事務所に提出する形ですね。
ただ、退職後に請求する形となりますので
社会保険事務所から、在職期間の確認という形で
会社に連絡が入ることは多々ありますよ。
実際、私が仕事をしていた際に確認の電話を受けたことがあります。
退職後の保険をどうするかにもよります。
今お勤めの会社を退職後、すぐに旦那様の扶養に入るのであれば
分娩時は旦那様の健康保険に加入されていることになりますから
旦那様の加入されている保険へ請求するという形になると思いますし、
退職後、国民健康保険に加入されるのであれば
現在加入されている社会保険への請求となります。
（社会保険加入１年以上で離脱後６ヶ月以内に分娩された場合は
国保ではなく社会保険への請求・支給となります）
会社によって規定が異なることもありますので
できれば現在お勤めの会社の総務に確認されたほうがいいのですが
それは無理なのですよね？
でしたら、社会保険事務所に直接確認をされてみてください。
出産一時金は分娩から２年以内であれば申請は可能ですから、
お急ぎでなければ出産後に落ち着かれてから申請されれば
会社にバレても問題はないのでは？
＞７月に妊娠を言ってから請求したほうがいいのでしょうか？
６ヶ月に入ると、一気にお腹が出てくるという方は多いですよ。
人によってお腹の出方は違いますが
私が妊娠５ヶ月で母親教室に参加した際に
同じ５ヶ月でも、あきらかに妊婦とわかる体型の方が
参加者20名中、３名はいらっしゃいましたし、
比較的お腹が目立たないと言われていた私も
７ヶ月を過ぎてからは誰が見ても妊婦とわかる体型になりました。
今はお腹も目立たず、妊娠していることに気付く方も
そんなにはいらっしゃらないとは思いますが
あと２ヶ月もすれば周囲も気付いてしまうのではないでしょうか？
私が仕事をしている際、
妊娠８ヶ月まで働いていた方がいらっしゃいましたが
やはり６ヶ月ぐらいでそれまで着ていた制服が着られなくなり
マタニティ仕様の制服に変えて仕事をされていました。
いかにもマタニティという感じの、ゆったりした作りの制服でも
７ヶ月前後でお腹はかなり目立つようになっていましたよ。
会社に言えない理由は質問文からはわかりませんが
退職前には周囲にバレてしまう可能性は非常に高いですよ。
それまでに妊娠されていることを伝えた上で退職され
請求されたほうがスムーズに事が運ぶと私は思うのですが・・・
