放物線に正三角形が内接するときの重心の軌跡

質問

放物線y=ax^2の上に3点P,Q,Rをとり、三角形PQRが正三角形になったとする。このとき、3点P,Q,Rのx座標にはどういった関係があるのでしょうか?
正三角形の重心の存在範囲はどうなるのでしょうか？

から発展させた自作問題ですが複雑でよくわかりません。どうかよろしくお願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

ANo.2 です。
訂正します。
【誤】　|X| が大きいところでは Y = X^2/10 + 2 に近い曲線のようです
【正】　|a*X| が大きいところでは a*Y = (a*X)^2/10 + 2 に近い曲線のようです

ご質問にある3点P,Q,Rのx座標については、( 2/3 )*π < α < π の範囲で α を動かして c、X、Y を計算すれば次式で計算できます。
　　　P（ X + c*cosα , X + c*sinα ）
　　　Q（ X + c*cos( α + 2*π/3 ) , X + c*sin( α + 2*π/3 ) ）
　　　R（ X + c*cos( α - 2*π/3 ) , X + c*sin( α - 2*π/3 ) ）
点P, Q, R のx座標をそれぞれ x1, x2, x3 とすれば
　　　x1 = -1/2*cos(alpha+1/6*Pi)*(4*sin(alpha+1/6*Pi)^3-3*sin(alpha+1/6*Pi)+4*cos(alpha))/(a^2*(sin(alpha+1/6*Pi)-1)*(2*sin(alpha+1/6*Pi)+1)*(2*sin(alpha+1/6*Pi)-1)*(sin(alpha+1/6*Pi)+1))
　　　x2=-1/2*sin(alpha+1/6*Pi)*cos(alpha+1/6*Pi)*(4*sin(alpha+1/6*Pi)^2-7)/(a^2*(sin(alpha+1/6*Pi)-1)*(2*sin(alpha+1/6*Pi)+1)*(2*sin(alpha+1/6*Pi)-1)*(sin(alpha+1/6*Pi)+1))
　　　x3=-1/2*cos(alpha+1/6*Pi)*(4*sin(alpha+1/6*Pi)^3-3*sin(alpha+1/6*Pi)-4*cos(alpha+1/3*Pi))/(a^2*(sin(alpha+1/6*Pi)-1)*(2*sin(alpha+1/6*Pi)+1)*(2*sin(alpha+1/6*Pi)-1)*(sin(alpha+1/6*Pi)+1))
で表されます（これはソフトの式をペーストしたものです）。

x1 と x3 の関係はほとんど a*( x1 + x3 ) ≒ 0 で、x2 は x1 と x3 の間にあります。厳密には等式は成り立ちませんが、( 2/3 )*π < α < π の範囲では | a*( x1 + x3 ) | < 0.6 です。つまり、正三角形が放物線に内接しながら動くとき、正三角形の１辺はほとんどx軸に平行な状態にあるようです。

特に α = (5/6)*π のとき（これはαの範囲の中間点になります）
　　　x1 = -x3 = (√3)/a、x2 = 0、重心位置は ( 0, 2/a )、c = 2/a
となって、正三角形の１辺はx軸に平行となり、その辺に対向する頂点は原点に来ます。このとき重心の y座標は最も小さくなり、正三角形の大きさも最も小さくなります。

お礼

なんとすごい計算、感謝いたします。

回答No.2

inara1

手計算ではとても無理なので数式処理ソフトで計算してみました。
stomachman さんのパラメータを使い、重心位置を（X, Y）、重心から３頂点までの距離を c 、ある頂点と重心を結ぶ線分がx軸となす角をα（ -π≦α≦π）としたとき、３頂点が放物線 y = a*x^2 上にあるという条件から、以下の式が得られます。
　　a*( X + c*cosα )^2 = Y + c*sinα
　　a*{ X + c*cos( α - 2*π/3 ) }^2 = Y + c*sin( α - 2*π/3 )
　　a*{ X + c*cos( α + 2*π/3 ) }^2 = Y + c*sin( α + 2*π/3 )

これを c, X, Y について解くと
　　c = -2*cs/d --- (1)
　　X = sn*cs*( 3 - 4*sn^2 )/d --- (2)
　　Y = cs*{ 16*sn^6*cs + ( 32*sinα - 24*cs )*sn^4 + 32*sn^3*cs*cosα + ( 9*cs - 40*sinα )*sn^2 - 24*sn*cs*cosα + 16*cs*(cosα)^2 + 8*sinα }/( 4*d ) --- (3)
　　ただし sn = sin( α + π/6 )、cs = cos( α + π/6 )、d = a*( 1 - sn )*( 1 + sn )*( 1 - 2*sn )*( 1 + 2*sn )
となります（Yの式がややこしい）。

式(2), (3) から α を消去し、Y = f(X) や X = g(Y) の形にすることはできませんでした（数式ソフトで解かせてみると、複数の6次方程式の一般解の和になりました）。しかし、重心位置 （X,Y) は α を媒介変数とすれば一義的に表せることが分かります。

ただし全てのα の範囲（-π～π）で重心位置が存在するとは限りません。
d がゼロ、あるいは c が負になるような α のときには重心は存在しません。式(1) から、α に対する a*c の値をグラフ化してみると、a*c は α に関する奇関数で
　　　　　　　 　-π< α < -( 2/3 )*π　 のとき　a*c ≦ -2
　　　-( 2/3 )*π < α < -( 1/3 )*π　　のとき　a*c ≧ 2
　　　-( 1/3 )*π < α < 0　　　　　　　 のとき　a*c ≦ -2
　　　　　　　　 0 < α < ( 1/3 )*π　　　のとき　a*c ≧ 2
　　　　( 1/3 )*π < α < ( 2/3 )*π　　　のとき　a*c ≦ -2
　　　　( 2/3 )*π < α < π　　　　　　　 のとき　a*c ≧ 2
となりました（ |a*c| = 2 となるのは範囲の中央）。c > 0 ですから、a > 0 の場合は、以下の α の範囲でのみ重心が存在することになります。
　　　-( 2/3 )*π < α < -( 1/3 )*π　または　0 < α < ( 1/3 )*π　または　( 2/3 )*π < α < π
さらに、この α の範囲で、式(2), (3) を使って、a*X と a*Y の値を計算してみると
　　　-( 2/3 )*π < α < -( 1/3 )*π　のとき　a*Y < 0
　　　　　　　　 0 < α < ( 1/3 )*π　　のとき　a*Y < 0
　　　 ( 2/3 )*π < α < π　　　　　　　のとき　a*Y ≧ 2
となるので、結局、最後の範囲 ( 2/3 )*π < α < π だけが、重心が存在する条件のようです（この場合放物線はy≧ 0 にしか存在しないので、y < 0 に重心が来ることはないと思います・・）。

( 2/3 )*π < α < π のとき、a*X, a*Y を計算し、点（a*X, a*Y ） の動く範囲をグラフに描いてみると、点( 0, 2 ) を頂点としたV字状の曲線（偶関数）になりました。頂点付近は丸みがあって、|X| が大きいところでは Y = X^2/10 + 2 に近い曲線のようです。

式(1)～(3) は数式ソフトの結果を読みやすいように書き直したものですが、写し間違いがあるかもしれないので、ソフトの式を以下にペーストしておきます（全て半角なのでそのまま使えるはずです）。

c*a=-2*cos(alpha+1/6*Pi)/(4*sin(alpha+1/6*Pi)^4-5*sin(alpha+1/6*Pi)^2+1)
a*X=-1/2*(4*sin(alpha+1/6*Pi)^2-3)*sin(alpha+1/6*Pi)*cos(alpha+1/6*Pi)/((sin(alpha+1/6*Pi)^2-1)*(4*sin(alpha+1/6*Pi)^2-1))
a*Y=1/4*cos(alpha+1/6*Pi)*(16*sin(alpha+1/6*Pi)^6*cos(alpha+1/6*Pi)+32*sin(alpha)*sin(alpha+1/6*Pi)^4-24*sin(alpha+1/6*Pi)^4*cos(alpha+1/6*Pi)+32*sin(alpha+1/6*Pi)^3*cos(alpha+1/6*Pi)*cos(alpha)+9*sin(alpha+1/6*Pi)^2*cos(alpha+1/6*Pi)-40*sin(alpha)*sin(alpha+1/6*Pi)^2-24*sin(alpha+1/6*Pi)*cos(alpha+1/6*Pi)*cos(alpha)+8*sin(alpha)+16*cos(alpha+1/6*Pi)*cos(alpha)^2)/((4*sin(alpha+1/6*Pi)^4-5*sin(alpha+1/6*Pi)^2+1)^2)

回答No.1

stomachman

aは定数と思って良いんですよね。
直交座標系で正三角形の重心を(X,Y)、重心と頂点の距離をcとすると、頂点は
(X,Y)+c(cos(α),sin(α))
(X,Y)+c(cos(α+θ),sin(α+θ))
(X,Y)+c(cos(α-θ),sin(α-θ))
ただし
θ=2π/3
です。この三点がどれも
y=a(x^2)
を満たすのだから、連立方程式
(1) Y+c sin(α)=a(X+c cos(α))^2
(2) Y+c sin(α+θ)=a(X+c cos(α+θ))^2
(3) Y+c sin(α-θ)=a(X+c cos(α-θ))^2
が得られます。三角関数の加法法則を使って整理すると、
[1] Y=（Yを含まない式）
[2] c=（cとYを含まない式）
[3] X=(XとcとYを含まない式）
の３本の式が（多分）得られ、これで、αをひとつ決めた時のX,Y,cが決まります。

★ ところでaは1に固定しても一般性を失いません。というのは
y=a(x^2)
を満たすx,yは
ay=((ax)^2)
を満たすから、x'=ax, y'=ayとおけば（つまりx軸、y軸をどちらも1/a倍にすれば）
y'=x'^2
という標準形になるからです。