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「2分の1ではない」解説
「直観」の罠に陥るな!、と言うネット記事を読みました。 「ある人に子供が2人いることがわかっている。そのうち、少なくとも1人は男の子だということがわかった。もう1人が女の子である可能性は1/2?」 答えは×です。 解説してください。
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こんにちは。 男女が生まれる確率は、正確にそれぞれ2分の1という前提で。 2人の子供が生まれるパターンは A 1人目男、2人目男 B 1人目男、2人目女 C 1人目女、2人目男 D 1人目女、2人目女 の4パターンです。 少なくとも1人が男とわかったということは、Dの可能性が除外され、A,B,Cの3つに絞られたことになります。 ですから、分母が3になります。 求める可能性は、3分の2 です。
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- sanori
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連続投稿すみません。 誤記訂正です。(1箇所消去) <間違い> ------------------------------------------------ 【こたえ】 (読まずに解いてみるほうが面白いかも?) ・P子さんの両親の血液型から、P子さんの血液型の遺伝子は、AOと断定できます。(順列で言えば、AOとOAの2通り。) ------------------------------------------------ <訂正後> ------------------------------------------------ 【こたえ】 (読まずに解いてみるほうが面白いかも?) ・P子さんの両親の血液型から、P子さんの血液型の遺伝子は、AOと断定できます。 ------------------------------------------------
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
#3と#9の回答者です。 三たびお邪魔します。 男の子と女の子の生まれる数が、統計上、少し異なることを議論するのは、題意ではなさそうなので、不毛だと思います。 代わりに、下記のような血液型の問題はいかがでしょうか。 (私の創作です) 【問題】「赤ちゃんの血液型は何型?」 A型の父とB型の母から生まれた、A型のP子さんがいます。 A型の父とA型の母から生まれた、A型のQ太郎くんがいます。 Q太郎くんには、O型のお兄さんがいます。 P子さんとQ太郎くんは結婚し、赤ちゃんが生まれました。 赤ちゃんがA型である確率は? ただし、赤ちゃんはP子さんとP子さんの浮気相手との間にできた子供ではありません。(と書かないといけないですか?) 【こたえ】 (読まずに解いてみるほうが面白いかも?) ・P子さんの両親の血液型から、P子さんの血液型の遺伝子は、AOと断定できます。(順列で言えば、AOとOAの2通り。) ・Q太郎くんのお兄さんがO型なので、Q太郎くんの両親は2人ともAOと断定できます。 ・Q太郎くんが生まれたとき、Q太郎くんの血液型の遺伝子がAAである確率は1/4、AO(順列で言えばAOとOA)である確率は2/4、OOである確率は1/4です。 ・【ここが大事】ところが、Q太郎くんの血液型はOではなくAであることがわかっているので、確率の分母が変わって、Q太郎くんの血液型の遺伝子がAAである確率は1/3、AOである確率は2/3になります。(←本題と、そっくりでしょ?) <Q太郎くんがAA(確率1/3)の場合> 赤ちゃんの血液型は、必ずA。 よって、この部分について、赤ちゃんがA型の確率は1×1/3=1/3 <Q太郎くんがAO(確率2/3)の場合> 赤ちゃんの血液型は、Aの確率が3/4、Oの確率が1/4 よって、この部分について、赤ちゃんがA型の確率は3/4×2/3=1/2 以上のことから、赤ちゃんがA型である確率は、1/3+1/2=5/6 (O型の確率は、1/6)
- arrysthmia
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既に A No.5 さん、または前スレッドに書かれているのかも知れませんが… ひとりの子供の性別が、知られる確率を p と置きます。すると、 (1) 兄と弟の場合 この場合が生じる事前確率は、1/4。これが起こったとする条件化に、 (1a) 2人とも男であることが発覚する条件付確率は、p^2。 (1b) 1人だけ性別が発覚して「男+不明」となる条件付確立は、2p(1-p)。 (1c) 2人とも性別が発覚しない条件付確率は、(1-p)^2。 (2) 兄と妹または姉と弟の場合 この場合が生じる事前確率は、1/2。これが起こったとする条件化に、 (2a) 男女2人ともの性別が発覚する条件付確率は、p^2。 (2b) 男の子の性別だけ発覚して「男+不明」となる条件付確立は、p(1-p)。 (2c) 女の子の性別だけ発覚して「女+不明」となる条件付確立も、p(1-p)。 (2d) 2人とも性別が発覚しない条件付確率は、(1-p)^2。 (3) 姉と妹の場合 この場合が生じる事前確率は、1/4。 この場合、「男の子がいる」と知られる確率は、0。 以上から、「男+不明」となっている状況下での、 もうひとりが女である事後確率は、(2b) / { (1b) + (2b) } を計算して、 { (1/2) p(1-p) } / { (1/4) 2p(1-p) + (1/2) p(1-p) } = 1/2。(笑) この値は、p の値に依りません。(笑) ベイズ統計で重要なのは、事前と事後の間で得られた情報は何か? それによって何がわかったか?なので、 得られた情報の詳細を端折ってしまうと、何が何だかわからなくなります。 この問題でも、「少なくとも1人は男の子だ」ということが、どのように「わかった」のか? を真面目に吟味しないと、まともな議論はできません。
- go272
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補足です。 >男女比を同率と仮定して、生まれ順を考慮しないと >1、男と女 >2、男と男 >3、女と女 >の3種類で、3番が消えるから、1、2の2つの可能性があるから、3分の2、ですよね。 問題は「もう一人が女の子である可能性は?」なのでこの考え方はそもそも誤りなのですが、それ以上に本質的な問題は、 「3種類のうち2種類にあてはまるから2/3だ」と決めている点です。 簡単な例を挙げます。 コインを投げた結果は 1.表が出る。 2.裏が出る。 3.立つ の三つです。 このとき 「コインの立つ確率は3種類のうち1種類だから1/3だ」 といわれてどうですか?納得しますか? これが成り立つには「同様に確からしい」という仮定が必要でした。 この例では明らかに同様に確からしくないのでこの考えは使えません。 では、 1、男と女 2、男と男 3、女と女 はどうでしょうか。 (男子と女子)の確率=(兄,妹)の確率+(姉,弟)の確率=1/2*1/2+1/2*1/2=1/2 (男子と男子)の確率=(兄,弟)の確率=1/2*1/2=1/4 (女子と女子)の確率=(姉,妹)の確率=1/2*1/2=1/4 となり、こちらも同様に確からしくはありません。 問題の答え2/3には「条件付き確率」を使えば簡単にたどり着けます。 詳しくは♯7の方が書いて下さっているのでもう一度参照なさってください。 一方、順番を考えれば (男、男)(男、女)(女、男)(女、女) の確率はそれぞれ1/4なので同様に確からしいといえます。 このときは今までの回答にもあったように、 (女、女)はないから3つのうちどれかで、 そのうち女の子がいるのは2種類だから2/3です。 ここまでが、男女比を同率とみなした、数学的なお話でした。 実際のデータでは男子のほうが多いのは事実でしょうが、 それが影響を与えるのは、いま求めた2/3という数字であって、1/2ではありません。 ためしに男女比105:100で計算すると(男子の確率が約52%、女子約48%) 求める確率は (2*0.52*0.48)/(0.52^2+2*0.52*0.48)=0.6486... となり、約65%になります。 「実際のデータが1:1ではないから1/2ではない」というのは根本的に間違った考え方です。
お礼
丁寧にありがとうございました。
- age_momo
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#5です。話が変な方向に向いてしまっているようですが、 >そうなると、2人兄弟の男女の組み合わせは >1、男と女 >2、男と男 >3、女と女 >の3通りしかないんじゃないかなと。 >それで、少なくても1人が男児なので、3番は消える。 >だから、答えは2分の1で○ >という考え方もできるんじゃないかなあと思ったんですが・・・間違いですか?(^_^;) これは例えば全ての目がでる確率が1/6のサイコロを2個振ったときに 1,1のゾロ目と1,2のどちらが出やすいかと同じ議論です。当然、 1,2の方が2倍出やすいと思います。それと同じで1,2,3それぞれが 起こる確率そのものが違いますのでここから3番を消しても1/2ではありません。 元々の確率は1が1/2 2,3が1/4ずつで、確率的でなく3が消えれば 1/2÷(1/2+1/4)=2/3と計算します。 確か、出生率は男児の方が若干高く、乳児期の生存率が若干低いので 子供としては若干、女児が多いという記事を読んだ覚えがあります。 ただ、この話はそのような微差の話ではなく、どちらも1/2と仮定した時にも 女児である確率が2/3になるという話です。 私自身はこの手の質問が非常に紛糾しやすいのは確率論の定義に従い 疑問の余地なく問題が作られていないためだと思っています。 実際に次の4パターンから A 女、女 B 女、男 C 男、女 D 男、男 確率に影響が出ないようにAだけを消す文章を作るのが難しいのです。 例えばある子供の親がその『ある人』だと分かったとか、その人の家の表札に 男の子の名前があったなどでは確率は1/2になってしまいます。前にも書きましたが、 そういうことが起こる確率がB,Cに比べてDの方が2倍あるからです。 色々、考えた結果がURLの#61のようなシチュエーションでないと2/3に 導けませんでした。(なので色々な人たちが1/2という確率を支持して いたのだと思います) ただ、そのようにA,B,C,Dから等しい確率でAだけを消せば女児がいる確率が 2/3になるのは間違いありません。 と書いていたら、qa2815878で強く1/2を主張されていた方が書き込まれていますね。 ちょうど良いので少し乗っかって二つの論の違いがどこにあるかを書いて見ます。 >(1) 子供が2人いる全世帯の集合を考える。 >(2) 中から1人の子供を無作為に選ぶ。 >(3) それが女であれば(2)に戻り、男であれば(4)へ進む。 >(4) 選んだ子供を家に戻さず、その家を訪問して2番目の子供を連れてくる。 >(5) 2番目の子供の性別を記録し、子供たちを家に帰す。 >(1) に戻って、このループを無限回繰り返す。 この(2)(3)がまさしく確率的に男児がいるかどうかを調べた結果です。 シミュレートすれば1/2になります。 一方、 (1) 子供が2人いる全世帯の集合を考える。 (2)対象全世帯から男児がいる世帯のみを残して残りは消去。 (3) 1世帯を調べて女児がいるかどうか。いれば○、いなければ× (1) に戻って、このループを無限回繰り返す。 ループの回数に対して○の数を出す。これなら2/3です。 端的にいえば男児がいることを確率的に調べるか、問題として 与えられたものとして扱うかの違いです。なので戻ってどうやって 『少なくとも1人は男の子』が分かったかが重要なのです。 再度書きますが、結論を出すには問題が不備なのですよ。
お礼
なるほど!サイコロに例えて説明していただき、合点がいきました。 そうですよね。勘違いしてました。 結論を出すには問題が不十分ですよね。 でも、この問題は○か×かというだけの問題なので、どのみち2分の1ではないから、答えが出るのでしょうね。
- Ishiwara
- ベストアンサー率24% (462/1914)
この問題は、過去にも登場しましたね。 問題を数学的モデルとして正確に記述することが必要です。 (1) 子供が2人いる全世帯の集合を考える。 (2) 中から1人の子供を無作為に選ぶ。 (3) それが女であれば(2)に戻り、男であれば(4)へ進む。 (4) 選んだ子供を家に戻さず、その家を訪問して2番目の子供を連れてくる。 (5) 2番目の子供の性別を記録し、子供たちを家に帰す。 (1) に戻って、このループを無限回繰り返す。 サイコロやコンピューターを使ってモンテカルロ法に頼るもよし、「ベイズの定理」に頼るもよし。答は一つです。
お礼
お答えありがとうございました。
- go272
- ベストアンサー率63% (7/11)
>もう一つは、現実の統計を考慮すると、男女比は同率ではなく、男児が多い傾向があるので、確率は2分の1ではない 男女比が同率だとしても確率は2分の1にはなりません。 実際のデータを用いて検証した結果も大体2/3くらいになるらしいです。 http://web.sfc.keio.ac.jp/~kogure/course/2007fall/da/da2007_1.pdf (※PDFで開きます!) の10くらいからの議論がまさにこのことです。 数学者が考えることと統計学者が考えることの違いも説明されています。 あと、♯11の方の >2000年度の全国の新生児男女比率は116.86(女子100人に対し、男子116.86人)という結果 というのは中国のケースです。一般的には103-107くらいだそうです。 http://news.searchina.ne.jp/disp.cgi?y=2002&d=0513&f=national_0513_003.shtml
お礼
教えていただいだ資料、とてもよくわかりました。 ありがとうございました。
- nrb
- ベストアンサー率31% (2227/7020)
そもそも、問題が不十分なのかもしれませんね この問題は・・・1/2に思えてしまう所に罠があります だから・・それがこの問題の特徴なんですね しらべもしなくて・・・・思い込み罠に誘われます 1、男と女 2、男と男 3、女と女 の3種類で、3番が消えるから、1、2の2つの可能性があるから、3分の2、ですよね。 1か2のどちらか一方と考えてしまったから、2分の1なんじゃない?と思ってしまいました。 1と2の両方の可能性があるんですよね。 すいません、自分で書いて、自分で突っ込んでしまいました(^_^;) この意味は無限では無いから・・・そうなります 有限だから1/2には成り得ません 子供の人口が・・・2名ならば・・・1で女性 4名なら2/3 6名ならば3/5 どんどん増やしていこう 7名ってどうなるの・・・・・これに気づくのも1つ 奇数ならば・・・・どうなる となりますが 人間には0.5人とは有り得ません 数学で行くと0.5は有り得ますが人間は0.5人にできません かならず奇数になる瞬間がありますこの時は 男性が1名多いと確立は同じですが 偶数だと 必ず0.5よりわずかですから女性の確立が大きいです 有限なので・・・こうなります 無限ならば・・・0.5に無限に近くなる→0.5になります この問題の罠は 人口は有限である 0.5人は有り得ない 男女構成比は1:1では無く 女性が1で男性は1より大きいのが実際のデータ確立です このどれに気づくと×だとの結論がでます そうなると、2人兄弟の男女の組み合わせは 1、男と女 2、男と男 3、女と女 の3通りしかないんじゃないかなと。 それで、少なくても1人が男児なので、3番は消える。 だから、答えは2分の1で○ という考え方もできるんじゃないかなあと思ったんですが・・・間違いですか?(^_^;) これは 3番目の女と女は有り得ません 男性と決まってますから・・・・・・・・・ この事象はありえないので 1、男と女 2、男と男 となりますよ
お礼
再びありがとうございます。
- nrb
- ベストアンサー率31% (2227/7020)
事象を考えて確立だすのは間違いです 2000年度の全国の新生児男女比率は116.86(女子100人に対し、男子116.86人)という結果 なので男性の方が可能性が高いが正解です 確率的には男性の方が生まれる確立が高い 実際の統計データがそれを物語ってます ああ・・間違ったままで終りそう・・・・ 人口統計みれば判る話なのに 1/2だと思う錯覚に・・・引っ張られてる
お礼
回答ありがとうございます。 そうですね。現実の男女比の統計を考慮すると、2分の1ではない、ということになりますね。 そもそも、問題が不十分なのかもしれませんね。 この問題は「実際の統計を考慮しているのか」「男女比を同率と仮定しているのか」わかりませんね。 ただ、男女比を同率と仮定した場合、夕べは一旦3分の2で納得したんですが、寝るときにふと考えたんですけど、また疑問が。。 男女比を同率と仮定して「少なくても1人は男児」と表現するってことは、生まれ順は考慮しないってことですよね? そうなると、2人兄弟の男女の組み合わせは 1、男と女 2、男と男 3、女と女 の3通りしかないんじゃないかなと。 それで、少なくても1人が男児なので、3番は消える。 だから、答えは2分の1で○ という考え方もできるんじゃないかなあと思ったんですが・・・間違いですか?(^_^;)
補足
あ!お礼を送信してから気が付きました。 男女比を同率と仮定して、生まれ順を考慮しないと 1、男と女 2、男と男 3、女と女 の3種類で、3番が消えるから、1、2の2つの可能性があるから、3分の2、ですよね。 1か2のどちらか一方と考えてしまったから、2分の1なんじゃない?と思ってしまいました。 1と2の両方の可能性があるんですよね。 すいません、自分で書いて、自分で突っ込んでしまいました(^_^;) よって、そもそもはどうして2分の1で×なのか、を知りたくて質問したので、その解説としては、2通り考えられ、 1つは、男女比を同率と考えて生まれ順を仮定しないので3分の2 もう一つは、現実の統計を考慮すると、男女比は同率ではなく、男児が多い傾向があるので、確率は2分の1ではない よって、どちらであっても、「確率2分の1」という答えは×。ということですね。
- mamoru1220
- ベストアンサー率46% (104/225)
問題に「少なくとも」と書かれている場合には、余事象を考えます。 事象Aに対して、「Aに属さない根源事象全体」をAの余事象と呼びます。 1-(余事象) = (答) となります。(書き方がまずいかもしれませんが、イメージ的にはこうです。) 今回の問題では、「2人とも女の子」というのが余事象に当たります。 この余事象を求めてから、考えてみてはいかがでしょうか。
お礼
解決しました。 ありがとうございました。
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お礼
なるほど!これですね。答えは。 つい、残り一人のことだけを考えてしまいますが、2人セットで考えるとってことなんですね。 ありがとうございました。