θ(rad)の積分

質問

角度を時間で積分したら位置になりますよね？
位置変化を時間微分したら角度になるんだから…。

なら、その位置の単位は(m:メートル）ですか？？

なんか、どこか間違ってる気がします。
どなたかご指摘ください。

回答No.9

mmky · ベストアンサー

mmkyです。返事がおくれました。ご指摘のように積分値に単純なミスをしていました。修正します。

>一方、横軸に角度θ、縦軸にy(cm 又はm)のグラフを考えるときは、極座標空間（ｙ,θ)領域での話しになります。
→これは横軸にy(cm or meter)、縦軸に角度θのグラフを…でよろしいですか？
回答：そのとおりです。x,y軸方向にグラフを書く（x,y)座標形式ですが、
yと角度θのグラフなので、区別するために表現を（極座標）としました。
誤解を与えたようですので、本来の（x,y)座標に修正します。

>≒∫1×(Asin(2πｆt))dt　＝∫Θdt＝-2πfＡcos(2πｆt)
→これは最後が = -A/(2πf)*cos(2πft)　でよろしいですか？
回答：そのとおりです。私の単純なミスです。
>≒∫1×(Asin(2πｆt))dt　＝∫Θdt＝-（Ａ/2πf)cos(2πｆt)
が正解です。

この修正で、以下も修正します。
(Ａ/ 2πf)は、ｆの単位が｛1/sec}ですので、
（長さ・時間）｛m・s}又は｛cm・s}の単位になります。
ちなみに、dΘ/dt＝2πfＡcos(2πｆt) なので微分のとき（2πfＡ）
が速度になります。
ということで、修正しておきます。
再度纏めますと、
位相空間での位相θが　θ(rad)=Asin(2*3.14*f*t) で与えられるとき
Ａを十分1より小さい数に選び、Ａを長さと読み替えるとき、
以下の関係が成り立つ。
「θ角度を長さと読み替えると位置になる。」
「θ角度を長さと読み替えて時間で積分したら時間長さ（m・s)になる。」
「θ角度を長さと読み替えて時間で微分したら速度になる。」
という表現ができます。
ということで、確かにene2さんの質問の命題を満足するような回答はありますね。
以上

お礼

ありがとうございます。
全て納得、解決いたしました。
できることなら、10000000pt、差し上げたいです。

回答No.8

mmky

＃No1です。皆さんのやりとりからなんとなく質問者の意図がわかってきました。（間違っていたらごめん！）
「横軸に時間t、縦軸に角度θのグラフを考えたときに、sinカーブをもったグラフを考えます。」とありますので、これは位相空間という定義域での話しになります。この領域内では物理単位はどこにいても（現在地を位置と表現しても）ラジアン（無次元）です。この領域での速度を角速度（ｄΘ/dt)や
角加速度と定義しています。
θ(rad)=Asin(2*3.14*f*t) の式のＡ（係数）の単位もラジアンです。
ちなみに、(2*3.14*f*Ａ)は、ｆが（1/sec)の単位ですので角速度の単位になる。
一方、横軸に角度θ、縦軸にy(cm 又はm)のグラフを考えるときは、極座標空間（ｙ,θ)領域での話しになります。
Y=Rsin θ　この式のR（係数）の単位は、cm又はmeterです。

ここで質問の「θ角度を時間で積分したら位置になる」という命題の意味を考えると位相空間上の位置を（R,θ)空間上の位置に変換すると解釈できますので、変換すると、ベッセル関数になりますね。
Y=Rsin (Asin(2πｆt))　　（YとＲの物理単位はcm,又はmeter)
そこで、命題に従って積分を実行するとして、まず位相空間上の係数Ａを1より十分に小さい数に選び操作をすると、
sinΘ≒Θ と近似でき、更にＲ=1（単位長）としておけば、
Y=1・Asin(2πｆt))　　
この表現で、Aは角度おの単位から長さの単位に変換される。
∫RsinΘ dt=∫Ｒsin(Asin(2πｆt))dt
≒∫1×(Asin(2πｆt))dt　＝∫Θdt＝-2πfＡcos(2πｆt)
（ここでのＡは、長さの単位）
2πfＡは、ｆの単位が｛1/sec}ですので、
速度｛m/s}又は｛cm/s}の単位になります。

こういう操作をすれば、
命題「θ角度を時間で積分したら位置になる。」は、
「θ角度を長さと読み替えると位置になる。」
「θ角度を長さと読み替えて時間で積分したら速度になる。」
という表現ができます。

ということかな。

補足

さいこーです、mmkyさん！非常にわかりやすい回答です！！

1つ、よろしいですか？
あげあしをとるわけではなく、確認です。

>一方、横軸に角度θ、縦軸にy(cm 又はm)のグラフを考えるときは、極座標空間（ｙ,θ)領域での話しになります。
→これは横軸にy(cm or meter)、縦軸に角度θのグラフを…でよろしいですか？

>≒∫1×(Asin(2πｆt))dt　＝∫Θdt＝-2πfＡcos(2πｆt)
→これは最後が = -A/(2πf)*cos(2πft)　でよろしいですか？

確かに式変換をしないとAは最初のままでは単位がradですよね。
結果としては最初と同じ(-2πfＡcos(2πｆt))になったけれどもプロセスが全く違い、意味が全く異なることがよくわかりました。

回答No.7

First_Noel

＃３，４です．どうやらご質問が統合されたようですので，
改めましてこちらのご質問文について書きますね．

＞角度を時間で積分したら位置になりますよね？
これは私が下記に書いた通りで，物理的に無意味な量です．

＞位置変化を時間微分したら角度になるんだから…。
「位置変化」「位置変化を時間微分する」の意味が不明なのですが，
「位置を時間微分」でしたら「速度」「角速度」になります．
逆に「速度」「角速度」を積分し，初期条件等の境界条件を考慮すると，
「位置」が求まります．

即ち，物理の定義として，何か誤解されているように思われるのですが．．．

補足

一夜にして3度ものご回答、本当にありがとうございます。
まだ完全には納得していませんが、First_Noelさんのような存在は非常にありがたいです。

えー、#3,4,7において、無次元量(rad)の積分は無意味な量は納得です。
また、速度および角速度を積分し、初期条件を考慮したら位置が決定されるというのもO.K.です。そして、位置を時間で微分したら速度になることもわかります。

と、いうことは、最初に戻って、θ(rad)を傾きに換算して、それから積分したら位置になる？？まだ、このあたりがわけがわかっていません、というより納得してません。

単刀直入に言うと、θ(rad)変化からその点での位置変化は求められない！
（2点以上の条件等がなければ）ということですか？

回答No.6

noname#108554

位置になります。
極座標というのはご存知でしょうか？
2次元では(原点からの距離、原点からのある半直線となす角）という
2組の数で点を一つ指定することができます。

「ある軸となす角」は、角度なので、単位はラジアンです。

補足

ご回答、ありがとうございます。

(r,θ）ですよね。極座標はわかります。
では、位置ということなら、単位はなんになるのでしょうか？
メートルですか？？

回答No.5

zabuzaburo

面白そうなご質問です。
疑問を解決するためには、
ene2さんが前提としている
>位置変化を時間微分したら角度になる
ということを、
「なぜそうなのか？」「本当にそうなのか？」
熟考する必要があります。
このように考えた理由を、まず詳しく教えてもらえませんか。
ご面倒ならばもちろん強制はしませんが、
食らいついて来てくれるならとことん付き合います(^^)

補足

喰らいついてよろしいでしょうか？

えー、まず、横軸に時間t、縦軸に角度θのグラフを考えたときに、sinカーブをもったグラフを考えます。つまり、θ(rad)=Asin(2*3.14*f*t) ここで、f:周波数、A:振幅ともに、与えられた値で決まるとすると、時間における角度変化のグラフが決まります。その角度を追って位置変化のグラフを書くと、y=-A/(2*pi*f)cos(2*pi*f*t)になりますよね？すなわちこれは、積分の式になっているのではないのですか？？ここで、yにあたる単位がわかんないんです…。

グラフなしで、文章だけで説明することの難しさを実感してます。
この問題と並行して国語のお勉強もすることにします。

回答No.4

First_Noel

＃３です．
下記，「単位時間当たりの量」は，「単位時間当たりの位置の変化量」の間違いでした．

＞ある事象を考える上で、ある点での角度θを計測して
＞そのθからその点での変位が求められると考えてきた

「ある点での角度θを計測」しただけでは，「ある時点での位置がθである」と
言う以上の情報は得られません．少なくとも２点必要か，或いはθの時間依存について，
既に何らかの情報を得ていなければ，お考えのことは出来ません．

回答No.3

First_Noel

角度θ(rad)は無次元量です．

＞角度を時間で積分したら位置になりますよね？

「時間」で積分して「位置」となるのは，「単位時間当たりの量」即ち「速度」です．
この場合，θは「位置」を表していると考えれば，それを微分して「角速度」は求まれど，
θを時間積分して得られる物理量に意味はありません．

回答No.2

sPP

radはもともと無次元の量なので
[rad・sec]はあえて言うなら「時間」の次元ですね。

どうしても「位置（長さ）」の次元にしたいみたいですが、
それはどうしてですか？

補足

sPPさん、素早い反応、ありがとうございます。

ある事象を考える上で、ある点での角度θを計測して
そのθからその点での変位が求められると考えてきた
ところで、どうやったらいいか、考えに矛盾が生じて
てんてこ舞いになっているからです。

回答No.1

mmky

位置変化を時間微分するということは、言い換えれば
位置の変化量（Δｘ）を時間の変化量（Δｔ）で割るということでしょう。
これを速度といいます。角度にはなりません。
速度V＝Δｘ/Δｔ　{m/sec}

角度の時間積分？はそのまま考えれば、｛ラジアン・sec｝
という単位で位置にはなりません。　

こんなのでいいですか。

補足

mmkyさん、早速のご回答ありがとうございます。

おっしゃるとおりです。
では、θ(rad)を時間積分したら(rad・sec）になって、
位置でないとしたら、なんになるんですか？
もし位置にしたいのなら、θ(rad)を傾きに換算してから
積分すればいいということになるのですか？？