帰納法

質問

以下の２問について行き詰っているので教えてください。
I　
5^2^x≡1{mod2^(x+2)},≡/［合同でない］1{mod2^(x+3))}
であることをxに関する数学的帰納法で示しなさい。
II　
Iの結果を利用し、5^2^(y-2)≡1(mod2^y)(y≧2),
5^2^(y-3)≡/［合同でない］1(mod2^y)(y≧3)であることを示しなさい。

I
(ⅰ)x=1のとき　
　5^2-1=24は2^3=8では割り切れるが、2^4=16では割り切れない。
　よってx=1のとき成り立つ。
(ⅱ)x=kのとき与式が成り立つと仮定すると、
　5^2^k≡1{mod2^(k+2)},≡/［合同でない］1{mod2^(k+3))}
　これを等式で書くと最初の式から
　5^2^k=2^(k+2)・t+1　(tは整数)
　　　・
　　　・
II　
(ⅰ)x=y-2とおくと…　Iを使うための条件は？
(ⅱ)y=2のとき与式は成り立つ。

どなたかこの先どのように解法すればいいか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

koko_u_ · ベストアンサー

>> 結論に飛びすぎです。
>> mod 2^(k+4) で 1 と合同でない件は？
>そうでした、あれだと1と合同でない件についての証明になりませんね。
>5^2^x≡/［合同でない］1{mod2^(x+3))}
>しかし、この式も等式でまず表すのでしょうか？
>合同でない式を等式で示すことができません。

「○○でない ⇒ △△でない」を証明する良い方法は
「△△である ⇒ ○○である」を証明することですね。

補足

何度もレスをつけていただいてありがとうございます。
>「○○でない ⇒ △△でない」を証明する良い方法は
>「△△である ⇒ ○○である」を証明することですね。
ということは、
5^2^k≡/［合同でない］1{mod2^(k+3))}⇒5^2^k≠2^(k+3)・t+1　(tは整数)
5^2^k=2^(k+3)・t+1⇒5^2^k≡1{mod2^(k+3))}であるから両辺2乗して、
5^2^(k+1)={2^(k+3)・t+1}^2
　　　　 =2^(k+4){2^(k+2)・t^2+t}+1
となり、5^2^k≡/［合同でない］1{mod2^(k+3))}が成り立つ。
これでいいんでしょうか？

回答No.5

koko_u_

最後に一つだけ。
証明が出来た場合には自ずから正解とわかるものです。
改めて誰かに確認する必要はありません。

お礼

おつきあいいただきありがとうございました。
いろいろ勉強になりました。

回答No.3

koko_u_

>> やってみたのですか？どうでしたか？
>5^2^(k+1)={2^(k+2)・t+1}^2
> 　　　　 =2^(k+3){2^(k+1)・t^2+t}+1
> よって、x=k+1のときも成り立つ。
結論に飛びすぎです。
mod 2^(k+4) で 1 と合同でない件は？

補足

> 結論に飛びすぎです。
> mod 2^(k+4) で 1 と合同でない件は？
そうでした、あれだと1と合同でない件についての証明になりませんね。
5^2^x≡/［合同でない］1{mod2^(x+3))}
しかし、この式も等式でまず表すのでしょうか？
合同でない式を等式で示すことができません。

回答No.2

koko_u_

>5^2^k-1は2^(k+2)で割り切れるが、2^(k+3)では割り切れないことを
> 意味するということでしょうか？
合同式を日本語で言い直しただけです。もう少し考えましょう。

>そこからは、5^2^(k+1)=5^2^k×2=(5^2k)^2より両辺2乗していくという
> 感じはどうでしょう？
やってみたのですか？どうでしたか？

補足

> 合同式を日本語で言い直しただけです。もう少し考えましょう。
x=1のとき　25=2^4+2^3+1とおけることから
5^2^k=2^(k+2)・t+1(tは整数)は、5^2^k=α・2^(k+2)+β・2^(k+3)+1と表せるということでしょうか。

> やってみたのですか？どうでしたか？
5^2^(k+1)={2^(k+2)・t+1}^2
　　　　 =2^(k+3){2^(k+1)・t^2+t}+1
よって、x=k+1のときも成り立つ。

回答No.1

koko_u_

>どなたかこの先どのように解法すればいいか教えてください
何もできていないも同然の状態です。
もう少し頑張ってから再度質問しましょう。

アドバイスとしては
>これを等式で書くと最初の式から
> 5^2^k=2^(k+2)・t+1　(tは整数)
2 番目の式から言えることは何ですか？

そして I の命題は x = 0 でも成立することを確かめましょう。

補足

> 2 番目の式から言えることは何ですか？
5^2^k-1は2^(k+2)で割り切れるが、2^(k+3)では割り切れないことを
意味するということでしょうか？

> そして I の命題は x = 0 でも成立することを確かめましょう。
x=0のとき5-1=4は2^2=4では割り切れるが、2^3=8では割り切れない。
よってx=0のとき成り立つ。

そこからは、5^2^(k+1)=5^2^k×2=(5^2k)^2より両辺2乗していくという
感じはどうでしょう？アドバイスよろしくお願いします。