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回帰 独立性
こんにちは。生物を学んでいるのですが、統計学が必要なので勉強し始めました。単回帰について、質問があります。 2変数xとyとのあいだのピアソン相関係数や決定係数を求める際、 たとえばy=x-zのようにyがx自体の関数として表せる場合、単純に求めた相関係数や決定係数は意味がありますか ? (ここでzはxの関数であるかもしれないし、そうでないかもしれなく、つまり、具体的な関数の形はわかっていないと考えてください) 友人に、zの具体的な関数の形はさておき、yはとにかくxの関数であり、xとyは独立ではないので、上記の統計はあまり意味がないと言われました。でもそれはおかしいと思ったのです。なぜなら、仮にaとbが独立だとして、回帰分析後に相互に相関があるとわかった場合、結局bはaに依存している(あるいはその逆)という結論が導きだされ、それはaとbは独立でなかったことを意味し、よってその統計に意味がなかったとされ、aとbを比べるということ(すなわち回帰分析自体)が意味がないということになってしまいます。 つまり、独立かどうかの判断が、統計を行う前になされるか後になされるかの問題にすぎず、aとbとの間の相関を見つけるために回帰分析をしたい人にとっては、永久に相関を見つけることができないということになります(なぜなら相関を見つけるということは、aとbが独立でなかったことを示す事他ならないからです) よろしくおねがいします。
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補足
>zが何者かわからないんだったらzに対しての回帰式を設定しないでしょう。 zに対して回帰式なんか設定していませんよ。一度もそんなこと言っていませんって(笑)。あくまでyとxです。 >そう言う解釈は少なくとも標本理論では行いません。決定係数は確率と(数学的な意味ではありませんが)同義ではないです。 もちろん、違います。しかし現実と組み合わせて、解析者側ではそういう解釈がもっとも近いのです。統計がいくら数値をはじき出したって、解釈なくしては意味がないでしょう? >友人の主張は「従属じゃないと回帰分析の意味がない」です。友人がおっしゃっていたのは「始めからyがxの関数であるのが分かってるのだったら回帰分析をする必要がない(単に当り前だから)」と言う事で、独立でないのだったら~とは言ってませんね。 このあたりから完全に話が循環していますが、yがxに依存している疑いがあるのでけれど、どのように依存しているのかということを調べたい時だってあるのです。(前にも書きましたが。。。) とにかく、それは話のポイントからずれているのでどうでもいいですが、たとえば、回帰の結果、傾きと切片が計算された場合、その傾きの数値が生物学的に重要な意味を持っている時があるのです。いいかえれば、傾きが数値で1だった時と2だったときでは、解釈は同じではないのです。たとえば、Yがある生物量、Xが鉄分の濃度としましょう。たとえば、回帰の結果がある温度t1でy=xだとしましょう(たとえばのはなしですよ、単位などは無視してくださいね)。この場合、生物に鉄を1あたえれば、生物量は1なわけです。温度t2ではy=0.5xだったとしましょう。そうすると同じ生物量をえるのに温度t2では温度t1の時と比べ、倍の鉄量がいるわけです。これは生物学的に重要であることがあるのです。なぜなら、温度で生物の代謝が異なることを示しているからです。この例のように、yがxにどのように依存しているのかが重要なことがあるのです。この例では切片0としましたが、当然切片が0でない時だってあるのです。そして、温度が違うときにその切片の値が違う時だってあるのです。さらに、その切片の値が、実は実験時の鉄濃度に依存しているときだってあるのです(そしてその理由がわからない時だってあるのです)。 >その解釈でよろしいです。 (ただし、他に読んでる人もいるでしょうから、バイナリーと言う"専門用語"は避けました。 いやあ、デジタルとバイナリーって意味が全く違いますよ(笑)。私が日本人で、さらに、議論の当事者だったから、あなたの間違いの推測ができたものの、私の友人たち(英国人)聞いたら、意味がさっぱりわからないでしょう。 私とあなたと二人の素人で議論しても、らちが明きそうにないので、統計の専門家に回答を依頼することにします。うちの学校(oxford)には専門家がたくさんいるので。でも、とくにかく、時間を割いてくれてありがとうございました。