遺伝の証明問題（大学受験）
現在、「遺伝」の分野を勉強していますがわからない問題があります。かおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。
問題は
「スイートピーには、白い花をつけるものに二種類の系統がある。AAbb,aaBBを交配したところ、F１はすべての株が紫色の花をつけた。このF１を自家受精したところ、F2では、紫色の花をつけた株のほかに白色の花をつけた株も再び現れた。色素の合成に関与する酵素Aおよび酵素Bの遺伝子の記号をAまたはa,Bまたはbとする。
最初に使った白花の２系統から出発して最も少ない世代数で、自家受精を繰り返しても必ず紫花をつける系統の種子を得るにはどうすればよいか。」
です。解答は、「１回の交配と３回の自家受精をする」です。
でも、私は、「１回の交配と２回の自家受精する」だと思います。
１回の交配→AAbb,aaBBを交配する（F１：AaBbができる）
１回目の自家受精→AaBbを自家受精（F2：紫：白＝９：７ができる）
2回目の自家受精→F2のうち、紫色（AABB,AABb,AaBB,AaBb）のみ自家受精する（F３：AABBから紫のみできる。AABb,AaBB,AaBbのそれぞれの自家受精からは、紫と白ができる。）
よって、ここで、紫色花のみできたもの（F３：AABB）をそのままおいておくと、花が枯れて、種子ができますよね。ですので、この種子をとるといいと思います。
以上より、私は、「１回の交配と２回の自家受精」だと思いました。
解答がいうとおりだと、F３をもう一度自家受精して、F４をとるということでしょうか。でも、どうして、F3の花が枯れるのをまって、その種子をとるのではだめなのでしょうか。
私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。
お礼
解答ありがとうございます。 おかげさまで理解できました。