不定積分

質問

dx / x√(4-x^2)
x=2sinθとおいて積分するみたいなのですが解けません。
どなたか教えて下さい。

回答No.8

noname#57316

＃６、＃７です。
もう一つミスがありました。
θとcosθの正負の関係です。
0≦θ≦π/2の時、cosθ≦0としておりました。
角度に拘らず、|cosθ|をcosθの正、負で分ければ良かったのでした。
失礼しました。

回答No.7

noname#57316

＃６です。
恥ずかしいミスをしてしまいました。
I、IIと場合分けをしたとき、それぞれの場合のxの正負を括弧書きしましたが、あれは不要でした。
確かにcosθの正負による場合分けが必要ですが、いずれの場合でも導かれる結果の式は互に変形
可能で同じ式に帰結します。
それらの二つの式をひっくるめて一つの式で表わすことができ、その時、ｘの絶対値を便宜的に
用いているだけでした。

回答No.6

noname#57316

∫dx/{x√(4-x^2)}
x=2sinθと置くと
dx=2cosθdθであり、
1/{x√(4-x^2)}=1/{2sinθ・√{4-4・(sinθ)^2}

∴dx/{x√(4-x^2)}=(2cosθ・dθ)/{2sinθ・|2・cosθ|}

I　θを、-π/2≦θ≦0の範囲にとると、
cosθ≧0ですので
dx/{x√(4-x^2)}=dθ/(2・sinθ)

（このとき、x≦0です。）

このような関数を積分するとき良く使われるのが
tan(θ/2)への置換です。
つまり、z=tan(θ/2)と置くと
dz=dθ/[2・{cos(θ/2)}^2]
dθ=dz・2・{cos(θ/2)}^2
sinθは、
sinθ=2・sin(θ/2)・cos(θ/2)
=2・{sin(θ/2)/cos(θ/2)}・{cos(θ/2)}^2
=2z・{cos(θ/2)}^2

∴dθ/(2・sinθ)
=dz・[2・{cos(θ/2)}^2]/[2・2z・{cos(θ/2)}^2]
=dz/(2z)

故に、∫dx/{x√(4-x^2)}=∫dθ/(2・sinθ)=∫dz/(2z)
∫dz/(2z)=(1/2)・ln(z)
=(1/2)・ln{tan(θ/2)}

tan(θ/2)は、
tan(θ/2)=sin(θ/2)/cos(θ/2)
={sin(θ/2)・cos(θ/2)}/{cos(θ/2)}^2
=(1/2)・sinθ/{cos(θ/2)}^2
そして、{cos(θ/2)}^2は
{cos(θ/2)}^2=(1/2)・(cosθ+1)
=[√{1-(sinθ)^2}+1]/2
∴tan(θ/2)=(1/2)・sinθ/（[√{1-(sinθ)^2}+1]/2）
=sinθ/[√{1-(sinθ)^2}+1]

sinθ=x/2に戻します。
sinθ/[√{1-(sinθ)^2}+1]=(x/2)/[√{1-(x/2)^2}+1]
分母を有理化すると
(x/2)/[√{1-(x/2)^2}+1]
=(x/2)・[√{1-(x/2)^2}-1]/（[√{1-(x/2)^2}+1][√{1-(x/2)^2}-1]）
=(x/2)・[√{1-(x/2)^2}-1]/[{1-(x/2)^2}-1]
=(x/2)・[1-√{1-(x/2)^2}]/(x/2)^2
=[1-√{1-(x/2)^2}]/(x/2)
={2-√(4-x^2)}/x

∴[ln{tan(θ/2)}]/2
=(1/2)・ln[{2-√(4-x^2)}/x]

II　次にθを、0≦θ≦π/2の範囲にとると、
cosθ≦0ですので
dx/{x√(4-x^2)}=-dθ/(2・sinθ)
となります。

（このとき、x≧0です。）

上と同様の演算の後、

次の結果を得ます。

[ln{tan(θ/2)}]/2
=-(1/2)・ln[{2+√(4-x^2)}/x]

従って、これらを纏めて、
-(1/2)・ln[{2+√(4-x^2)}/|x|]
となります。

質問者が、解答とされている
　(1/4)・log{2-√(4-x^2)/2+√(4-x^2)}
は、間違っています。

公式集などで確かめてください。

回答No.5

sparklight

No.3です。
前に書いた置換積分を解いてt=cosθに置き換えると
1/4log{(1-cosθ)/(1+cosθ)}
となるはず。
cosθ=√(1-(sinθ)^2)=√(1-(x/2)^2) に置き換えれば
1/4log{2-√(4-x^2)/2+√(4-x^2)}
になると思います。

回答No.4

info22

#1です。
訂正です。
＞(1/2)∫(1/sinθ)dθ=log{(1/sinθ)-cotθ}+C
(1/2)∫(1/sinθ)dθ=(1/2)log|(1/sinθ)-cotθ|+C
＞=-(1/2)log[{2+√(4-x^2)}/x] +C
=-(1/2)log[{2+√(4-x^2)}/|x|] +C

補足質問の回答
＞1/4log{2-√(4-x^2)/2+√(4-x^2)}
1/4log[[2-√(4-x^2)}/{2+√(4-x^2)}]
この式も変形すれば私が書いた積分結果と同じ式になります。
いずれも微分すれば積分の被積分関数になりますから確認してみて下さい。私の示した積分結果の2つの式も質問者さんの積分結果も正解で
式を変形すれば同じ式になります。

＞あと、log{(1/sinθ)-cotθ}+C
＞ってlog|(1-cosθ)/(1+cosθ)|+C
＞と同じ事ですか？
同じではありません。
log|(1/sinθ)-cotθ|
(1/2)log|(1-cosθ)/(1+cosθ)|
とが同じです。

回答No.3

sparklight

x=2sinθとおくと dx=2cosθdθ より、これらを代入して計算すれば不定積分は
∫(1/(2sinθ))dθ
となるはず。さらに、
1/2×∫(sinθ/(sinθ)^2)dθ
=1/2×∫(sinθ/(1-(cosθ)^2))dθ
としてcosθ=tとおいてまた置換積分を行えばよいのではないでしょうか。最後は部分分数に分ければ解けます。

お礼

お答えありがとうございます。
といた後に，ｔをcosθに直すんですよね？
そのあとどうやって答えまで持っていくか分かりません。
1/4log{2-√(4-x^2)/2+√(4-x^2)}
これにもっていくにはどうすればよいですか？

回答No.2

chiezo2005

貴方の質問自身が答えです。
そのまま代入してみてください。

回答No.1

info22

x=2sinθで置換すれば
(1/2)∫(1/sinθ)dθ=log{(1/sinθ)-cotθ}+C
となります。
被積分関数は簡単ですがちょっと厄介な積分ですね。
積分結果は変数を元のxに戻し整理すると
-(1/2)arctanh[1/√{1-(x/2)^2}] +C
=-(1/2)log[{2+√(4-x^2)}/x] +C
ただし、Cは積分定数

お礼

お答えありがとうございます。
しかし、この問題の答えを見ると
1/4log{2-√(4-x^2)/2+√(4-x^2)}
なのですが・・・

あと、log{(1/sinθ)-cotθ}+C
ってlog|(1-cosθ)/(1+cosθ)|+c
と同じ事ですか？