式の展開 解けません・・・

質問

a+b+c=3
a二乗+b二乗+c二乗=5
a三乗+b三乗+c三乗=6
のとき
1/a二乗+1/b二乗+1/c二乗=？

教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

対称式の問題ですので、先ずは、基本対称式である３つの式の値を求めて下さい。そして、それらをつかって求める対称式を基本対称式だけで表すことができれば、式の値を求めることができます。

（３つ基本対称式）
　　a+b+c(＝3), ab+bc+ca, abc

　　(a+b+c)^2＝a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)　より
　　3^2＝5+2(ab+bc+ca)
　∴ab+bc+ca＝2

　　a^3+b^3+c^3＝(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}+3abc　より
　　6＝3(5-2)+3abc
　∴abc＝-1

（求める式を基本対称式で表す）
　　1/a+1/b+1/c＝(ab+bc+ca)/(abc)＝2/(-1)＝-2

　　(1/a+1/b+1/c)^2＝1/a^2+1/b^2+1/c^2+2{1/(ab)+1/(bc)+1/(ca)}
　　(1/a+1/b+1/c)^2＝1/a^2+1/b^2+1/c^2+2(a+b+c)/abc
　　(-2)^2＝1/a^2+1/b^2+1/c^2+2*3/(-1)
　∴1/a^2+1/b^2+1/c^2＝4+6＝１０

お礼

No1の回答を見て求める式を基本対称式で表す　の前まではできたのですが、あと一歩でした・・・

美しい回答　ありがとうございました。

回答No.3

noname#56760

1/a^2+1/b^2+1/c^2=Ａ
両辺かける(abc)^2
(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2=A(abc)^2
(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2を求める。
a+b+c=3 両辺２乗
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=9
a^2+b^2+c^2=5より
2ab+2bc+2ac=４
ab+bc+ac=2両辺２乗
(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2+2abc(a+b+c)=4
abcが要るので求める。
a^3+b^3+c^3=6より
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc=6
3・(5-2)+3abc=6
abc=-1これより

(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2+2・(-1)・3=4
(bc)^2+(ac)^2+(ab)^2=10
後は代入。
10=A

お礼

よく分かりました。ありがとうございました！

回答No.1

koko_u_

(a+b+c)^2 と (a+b+c)^3 を計算しなさい。
対称式の典型的な問題。