数学の素数の問題です。

質問

数学の素数の問題です。高校生の娘に聞かれて分からないので教えていただけないでしょうか。 aを500以下の自然数とするとき、aとa²＋11a＋28が互いに素であるような数aの個数は、何個あるでしょうという問題です。a²＋11a＋28＝（a＋7）(a＋4）とするところまでは分かったのですが・・よろしくお願いします。]の結果がみつかりませんでした

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

ユークリッドの互除法を使って、＃１さんのように解くのが常套手段だと思いますが、質問者さんのように、因数分解から求める方法もあります。

　　（a＋7）(a＋4）
　ここまで因数分解されたのですから、ここで(a+7)や(a+4)がaと１以外の公約数を持ってしまう（互いに素でない）場合を考えます。
　(a+7) が a と1以外の公約数を持ってしまうのは、ａが７の倍数のときだけです。
　また、(a+4)＝(a+2^2) が a と1以外の公約数を持ってしまうのは、ａが2の倍数のときだけです。
　したがって、（a＋7）(a＋4）がａと互いに素である条件は、
　　「ａが７の倍数でなく、２の倍数でもない」
ときになります。
　あとは、この計算を＃１さんと同じように
　　（全体の個数）－（７の倍数の個数）－（２の倍数の個数）＋（１４の倍数の個数）
として求めればよいと思います。

　　（全体の個数）＝５００
　　（７の倍数の個数）＝５００÷７の商＝７１
　　（２の倍数の個数）＝５００÷２の商＝２５０
　　（１４の倍数の個数）＝５００÷１４の商＝３５

お礼

良くわかりました。丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

a と b = a^2 + 11a + 28 の最大公約数は a と 28 の最大公約数と同じです。

これは 28 = b - a(a+11) から明らか。そして後は容易。

お礼

どうもありがとうございました。助かりました。

回答No.1

himajin100000

公約数にNを持つ二つの自然数m,n(m>=n)を考えると，
自然数p,qを用いて

m = pN
n = qN
と書ける。

ここでpをqで割った商をs,余りをt(t<q)とすると
p = qs + t
と書ける。

m
= pN = (qs + t)N
= sqN + tN

である。
このtNはm = pN をn = qNで割った余りであり、
m,n,tNは共にNを公約数に持つ。
============
a^2 + 11a + 28 = (a + 11)a + 28
であるから
a^2 + 11a + 28とaの公約数を
28とaは全て公約数として持つ。
2の倍数と7の倍数を避ければいいから(28 = 2^2 * 7)

500 - 500 \ 2 - 500 \ 7 + 500 \ 14
= 500 - 250 - 71 + 35
= 214個

・・・かな？

お礼

よく分かりました。丁寧な解説どうもありがとうございました