微分可能関数の証明

質問

関数f:Ｒ→Ｒがxバー∈Ｒで微分可能ならば、fはxバーで連続であることを示しなさい。

わからないので教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。
　お礼をありがとうございます。
　だいぶ苦労しているようですね。

＞f':x∈Ｒ→f'(x)∈Ｒ

　途中の論法もわからなかったのですが、結論のこれも、ｆ’が実関数だということしか言ってませんよね。

　ε－δ論法を使わずに、関数が連続であることを言うのであれば、
　　[x→a] lim f(x)＝f(a)　　　・・・・・☆
だということを言えばよいと思います。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95#.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E9.80.A3.E7.B6.9A.E6.80.A7

　そこで、微分の定義式から、
　　f(x)－f(a)＝(x-a)*A+o(x-a)　　（ただし、o(x-a)は(x-a)より高位の関数。）
と書くことができますから、この式から、
　　ｘ→ａで　f(x)－f(a)→０
　⇔[x→a] lim {f(x)-f(a)}＝０
　∴[x→a] lim f(x)＝f(a)
となり、式☆を示すことができます。
　あとは、このａは任意の実数で成り立つことを言えば、ｆが実数全体で連続であることがいえると思います。

お礼

お礼が遅くなりました。
ありがとうございました。
おかげで助かりました。

回答No.2

mmk2000

あえて苦言を申し上げますが、最近、大学生さんは期末が近いせいか、レポートや課題内容をそのまま「わからないから」といって質問するパターンが非常に多いような気がします。

せめて自分の考えたところは記述するというマナーを守ってほしいと思います。

回答No.1

Mr_Holland

このあたりのものはいかがでしょうか。

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/030ksk.html　の２．［２］、［３］　連続関数と微分可能な関数との関係

お礼

参考になるＵＲＬを貼って頂きまして、ありがとうございます。
ＵＲＬを拝読しながらしてみたのですが、どうでしょうか？

xがxバーからxバー+h(h≠)に変化したときに、関数の値はf(xバー）に変化する。
このときの平均変化率は{f(xバー+h)-f(xバー)}/hである。
h→0(xバー+h→xバー)のとき、{f(xバー+h)-f(xバー)}/h→aでの接線の傾きとなる。
極限limh→o{{f(xバー+h)-f(xバー)}/h}が存在するとき
関数f:Ｒ→Ｒがxバー∈Ｒは微分可能である。そして極限はf'(xバー)である。
するとf'が任意のxバー→∈Ｒが微分可能である。
つまり
f':x∈Ｒ→f'(x)∈Ｒ

これで連続であることを示したことになるでしょうか？
ダラダラと長すぎるような気もしますし…