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無限室あるホテルが満室？
No.30169のnathさんの質問を再掲させていただきます。 「無限室のホテルがあるとして、今このホテルが満室になっているとする。 新しい客がホテルにきたら、その客はこのホテルに泊まれるのでしょうか？」 この質問に対してstomachmanさん、ozapanさんのいずれも「泊まれる」との回答でした。 私がこのことが理解できなかったのでもう少し詳しく教えていただきたいと思い 質問させていただきます。 新しい客が泊まれるとしたらその客のための部屋が空いていたということになり 満室ではないような気がします。 素人考えですが、 「満室にはなり得ない」 あるいは 「満室で新しい客は泊まれない」 のいずれかしかないと思うのですが、いかがでしょう？
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再びstomachmanです。 質問者のchekiさんは、誠にナイスポイントを突いていらっしゃると思います。 > 「満室にはなり得ない」 ここです。 無限ホテルが一体どうやって満室になったか。ひとりづつチェックインしてたら、いつまで経っても満室にならないですよね。ところが、そう決めつけたものでもないんです。ともかくごろうじ。 一つの方法は、一斉に到着して一斉に部屋に入る、という並列方式です。安宿なのでチェックインは各部屋のドアの脇にある投入口に1円入れるだけです。（これでも一晩で莫大な利益が上がります。） umehiroshiさんが仰るところてん式の部屋の移動は、まともにやれば無限の時間が掛かりそう（nanashisanさんのナイスツッコミ）です。しかし、泊まっているのは普通のヒトではない。数学的生物なので、ところてん方式でも、 １号室の生物は1分掛かって２号室へ行く。 次に２号室の生物は1/2分で３号室へ行く。 次に３号室の生物は1/4分で４号室へ行く。 次に..... とやりますと、 1+1/2+1/4+1/8+.... = 2ですから、2分で全員が移動を完了します。 もちろん順番にひとりづつチェックインしても、後の方ほど倍倍に早くなるこの数学的生物なら、ホテルを満員にすることが出来ます。フロントはとても忙しいでしょうけど。 「無限」というのは経験の届かない所にある。直感だけではなかなか扱えません。数学的には「無限公理」を使って、無限の操作を一度にやることを許してしまいます。 無限公理とは「無限集合が存在する」というものです。省略なし。まさにこの文言通りの公理です。その帰結として(1) 自然数の集合が存在すること、(2) 数学的帰納法が使えること、などが証明されます。逆に言えば「自然数」の概念は無限公理なしには正当化できません。
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- stomachman
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ぺんぺん草も生えてないじゃないですか。もうやっちゃったんですね.... stomachmanです。 ●無限集合の性質。 その集合全体と、その集合の一部とが１：１対応できるというのが無限集合の特徴です。たとえば{1,2,3,4,..... }と{2,3,4,5,....}とが丁度１：１対応できる。この場合の対応とは、部屋をずれて貰う、という移動のことです。そうして１号室を空けたんですね。下記URLの「基数」に関して、ご覧戴くとよろしいかと。 ま、耄碌してますんで、詳しい話はozapan先生にお任せしまして... ●nanashisanさま< そのツッコミに備えて、stomachmanは全館一斉放送をやったんですヨ。 ●jidaidreamさま< それでももちろんOKです。{1,2,...}と{1,2,..,9,11,12,....}でも１：１対応が出来ますからね。しかしこのホテルはお客の手間より、「不公平だ」というクレームが出るのを嫌がるんですよ。なにしろ宿賃が無限に安いもんですから。 ★なお、部屋数が有限の場合には、 「とりあえず１号室に２人入って貰い、 ２号室へ３番目の客を移し、 ３号室へ４番目の客を移し、 ４号室へ５番目の客を移し、.... とすれば、最後の部屋が空きますから、 ここに、一時的に１号室に入って貰った客を入れる。」 という手しかありません。わはは。
Stomachman師匠がまだいらしていない？ では、軽く露払いを。 実は「無限ホテル」の話は、「無限」概念を扱った本ならたいてい載っているものです。だから僕でも知ってた。（質問した人も知ってて質問してた気配が…） では、露払いということで、「無限」の話を…。 「無限」の世界では、われわれの日常的な感覚を裏切る、奇妙なことが起こります。ユークリッド公理の一つ、「部分は全体より小さい」が成り立たなくなるのもその一つです。 例えば「自然数と平方数は、どちらがより多くあるか」。自然数は「１，２，３，４…」と増えていきます。平方数は「１，４，９，１６…」と、自然数に比べて飛び飛びに増えていきます。ここから考えると「平方数は自然数の一部である（平方数の集合は自然数の集合に対して部分集合だ）」と言えそうです。つまり「平方数は自然数より少ない」。 ところが、よく見ると、一つ一つの平方数には「１」「２」「３」…という「ラベル」が付けられるのです（もともと、その数の平方ですから）。ということは、自然数が増えていけば、それと同じ個数の平方数が存在する…ということになります。 19世紀から20世紀初頭のドイツの数学者カントールは、このような考察をして、「無限集合とは、その部分集合との間に１対１の対応がつけられる集合である」と定義しました。このことは同時に、「部分は全体より小さい」という公理は、無限集合に関しては適用できないということも意味します。 それで…それでもって…で…えーと… とゆーわけで、あとはstomachman先生にお願いします！ p.s.nanashisanさんへ。隣への引越しは有限時間内に済みます。各自が荷物をまとめて隣に移るだけですから。「荷物が無限にある」となると大変ですが。
補足
質問した人も知っていた気配が、とはnathさんの事ですよね？ 私のは素人の考える所の「無限」でしたが、みなさまから思いっきり「数学」の解答が・・・素人が安易に質問すべきではないですね。 まずは「無限」を理解するところからですね。 自然数とその平方数が同数…なんか分かりそうな気がしてきました。 ありがとうございました。
- gooriken
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満室であるということは空き部屋は無いはずですよね、でも部屋数に限りが無いとすると、新しい客が現れたときにその人用の部屋が発生する、ということではないでしょうか。
- nanashisan
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残念ながら泊まれません。 一部屋ずつ移動してもらってたら、無限の時間がかかります。
- jidaidream
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//じだいどりーむ//です。 質問内容とumehiroshiさんの答えに納得しながら、再発見しています。 で、僕の考えですが、今、１号室から１０号室まで埋まっているとします。 １号室からずれていかなくても、１０号室に方に、部屋をひとつ、ずれてもらえば １０号室の人は１１号室にいき、新しいお客さんは１０号室に入れるというのは ダメですかねぇ。 なんだか、わけわからなくなりました。
- umehiroshi
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「無限」の概念でいくとそうなります。 今、無限室のホテルが満室のところに新しい客が一人来たとき泊まれるか？ 前回のお答えでは二方とも、 「客全員に部屋を一つずつずれてもらえれば入れる」 というものでしたね。 具体的に見ていきましょう。 １号室の客は２号室に移動します。そこにいた２号室の客は３号室へ移動します。 同様にずーっと繰り返します。１００万号室の客は１００万とんで１号室に行きます。まだまだ繰り返します。 部屋数に限りがあるならたとえば１億室しかないとすると、１億号室にいた客は追い出されてしまいます。が、部屋は無限にあるので最後に追い出される客は有りません。つまり、もといたすべての客が部屋に収まった上で空室がひとつできるわけです。もちろん、このあと客が何人来ても同様にして空室を作れます。 いい例かどうかはわかりませんが、こういうものを考えて見てください 「(1/3 ÷ 10) ＋ 0.3 = 1/3」 小数点以下の各桁がホテルの部屋、各桁の３の字が客、1/3が満室のホテル、÷10が1部屋ずれる行為、+0.3が新しい客です。
補足
無限って難しいですね。 空室がひとつできてしまったら、出来る前と後で数が変わってしまうような気がするのですが そういう物なんでしょうね。
補足
数学的生物とは面白い発想ですね。 とにかく無限を直感で扱おうとしていたことに無理があったような気がします。 私も数学を勉強してみようかなぁという気になりました。 どうもありがとうございました。