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ヒモの問題
「十分に長いヒモから以下の支持に従って１０本のヒモを切る。 (a) 長さはどれもcmを単位として０でない整数とする。 (b) どの３本を選んでもそれらを辺にもつ三角形をつくることができない。 (c) 一番短いものは１cm,二番目に短いものは２cmとする。 この指示に従いまったく無駄なくヒモを切っていくと、一番長いヒモは何cmであるか求めよ。ヒモの太さは無視する。」 こちらの答えは「89ｃｍ」ということですが、答えの導き方がわかりません。どなたか分かるかたはいらっしゃいますか？
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三角形の成立条件を考えてみましょう。 今回は３辺の長さが分かっていて、その条件のもとで三角形が成立しているかが問題になります。 では、適当な長さの直線を一本引いてみて下さい（長さは何でも構いません） ここから、残りの２本を考えていくわけですが…。 残り２本の長さの和と、最初の１本の長さの差を考えて行きましょう。 残り２本の和が最初の１本より長いと？同じだと？短いと？ コンパスがあるなら、２本のうちどちらかを適当な長さ（１本目より短い）に固定して描いてみると理解できるかと思います。 三角形の成立条件が理解できたらもう少しです。 1cm・2cmの2本に三角形が成立しないように一本加えるには？ 2cmと3本目の2本に…？ これを繰り返すだけです。
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- sanori
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三角形が出来ないようにするには、 任意のａ、ｂ、ｃ（ａ＜ｂ＜ｃ） の３本において、 ａ＋ｂ≦ｃ の関係が成り立ちます。 以下、単位のｃｍを省略します。 無駄なく不等式ａ＋ｂ≦ｃを満たすには、 １＋２≦３ ・・・３本目は３ ２＋３≦５ ・・・４本目は５ ３＋５≦８ ・・・５本目は８ ５＋８≦１３ ・・・６本目は１３ ８＋１３≦２１ ・・・７本目は２１ １３＋２１≦３４ ・・・８本目は３４ ２１＋３４≦５５ ・・・９本目は５５ ３４＋５５≦８９ ・・・１０本目は８９ これ、有名な「フィボナッチ数列」の２項目～１１項目とおんなじですね。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%9C%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%81%E6%95%B0%E5%88%97
- redowl
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この数字を見てフィボナッチ数列 を連想。 http://www20.big.or.jp/~morm-e/puzzle/column/002/002.html
- shinkun0114
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ポイントは、 ＞どの３本を選んでもそれらを辺にもつ三角形をつくることができない。 これだと思います。 三角形を作るには、ある2辺の和が他の一辺より小さくなくてはなりません。 たとえば、1cm・2cmのヒモと三角形を作るには、もう一本は3cmより短くないとできません。 言い換えると、1cm＋2cm以上のヒモを用意すれば、この問題の条件に当てはまります。 条件ではいちばん短い組み合わせですから、3本目のヒモは3cmになります。 同様に2cmと3cmのヒモで三角形ができないのは、2+3=5cmが最短です。 これをくり返します。 1cm+2cm=3cm 2cm+3cm=5cm 3cm+5cm=8cm ： ： 34cm+55cm=89cm 89cmが10本目として得られます。
- infra_red
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１本目が1cm、２本目が2cm、そして、正三角形を作ることのできない３本目の最小の長さは3cmですよね。 ２本目が2cm、３本目が3cm、そして、正三角形を作ることのできない４本目の最小の長さは5cmです。 ３本目が3cm、４本目が5cm、そして、正三角形を作ることのできない５本目の最小の長さは8cmです。 ・・・ これを繰り返すと、１０本目は89cmとなります。
1番目のひもが1cmで2番目のひもが2cmなら、3番目のひもは3cmになります。（三角形ができない最小の長さ） 同じように、4番目のひもは2番目のひもと3番目のひもを足した長さになります。 結局、 １、２、３、５、８、１３、２１、３４、５５、８９ で、10番目のひもは89cmになります。 式で表すと x(1)=1 x(2)=2 x(n)=x(n-1)+x(n-2) （x>=3) かな？
