数学（数的処理） 整数

質問

毎度毎度ですが・・・
ヨロシクお願いします。

【問題】
次の(1)～(5)の関係式があるとき,ｇの最大値はいくつか。
(1)ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇはすべて自然数である。
(2)ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇはすべて異なるとは限らない。
(3)ａ，ｂ，ｃはこの順に連続である。
(4)ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＝１０
(5)ａ＋ｄ＋ｅ＝ｂ＋ｅ＋ｆ＝ｃ＋ｄ＋ｆ

【私の考え】
(3)よりａ＝ｂ－１，ｃ＝ｂ＋１に置き換えたほうがいいということまでは分かるのですが・・・
どこを目標にして式を立てていけばいいのかが分かりません。
アドバイス・解法をよろしくお願いします。

ちなみに正解は「４」となります。

回答No.2

poohron · ベストアンサー

(5)ａ＋ｄ＋ｅ＝ｂ＋ｅ＋ｆにａ＝ｂ－１を代入して
（ｂ－１）＋ｄ＋ｅ＝ｂ＋ｅ＋ｆ
したがって、ｄ＝ｆ＋１

(5)ｂ＋ｅ＋ｆ＝ｃ＋ｄ＋ｆにｃ＝ｂ＋１を代入して
ｂ＋ｅ＋ｆ＝（ｂ＋１）＋ｄ＋ｆ
したがって、e＝ｆ＋２

これらを(4)ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ＝１０に代入すると、
（ｆ＋１）＋（ｆ＋２）＋ｆ＋ｇ＝１０
ｇ＝７－３ｆ

ｇが最大となるためにはｆが最小値となる必要がある。
(1)よりｆは自然数なので、ｆの最小値は１。

∴ｇの最大値は７－３×１ ＝４

お礼

ありがとうございます。
すっきりとした解法に驚きです。
参考になりました。。
本当にありがとうございました。

回答No.4

noname#47975

#3です。
a,b,cはこの順に連続する自然数だったのですね…。
結果的には、答えに辿り着いたものの、考え方は×ですね．．。
a + d + e = b + e + f = c + d + fの式より、
a,b,cが連続ならば,e,f,dも連続になりますね．．。
なぜなら、
a + d + e = b + e + fより、
a - b = f - d = -1
b + e + f = c + d + fより、
b - c = d - e = -1
になるからです。
後は、(4)より、g = 10- (d + e + f)
d + e + fが最小となる連続する数字のe,f,d
は1,2,3である事は明らかなので、
g = 10 - (1+2+3) = 10 -6 = 4
となります．．。

お礼

ありがとうございました。
a,b,cが連続ならば,e,f,dも連続になる，という点に気付きませんでした。
ご丁寧にありがとうございました。

回答No.3

noname#47975

(5)ａ＋ｄ＋ｅ＝ｂ＋ｅ＋ｆ＝ｃ＋ｄ＋ｆ

a + d + e = b + e + fより、
a + d = b + f
a - b = f - d
ここで、a < b より、
f < dとなります。

同様に、b + e + f = c + d + f
より、
b + e = c + d
b - c = d - e
ここで、b < cより、d < eとなります。
以上を纏めると
、(3)(5)の条件をみたすためには、
f < d < eとなる事が言えます。

次に、(4) d + e + f + g = 10
より、g = 10 - (d + e + f)となり、
gが最大になるためには、(d + e + f)を
最小にすれば良い。
ここで、(1)とf < d < eの条件により、
f= 1, d = 2 , e = 3のとき
(d + e + f) = 6でこれがd+e+fの最小値
になるので、g = 4となります。

お礼

ありがとうございます。
整数問題苦手なもので・・・。
分かりやすくありがとうございました。

回答No.1

himajin100000

ａ＋ｄ＋ｅ＝ｂ＋ｅ＋ｆ
より両辺からeを引いて
a + d = b + f
a,b,cがこの順に連続だから
d = (b-a) + f
d = 1 + f・・・A

ｂ＋ｅ＋ｆ＝ｃ＋ｄ＋ｆ
より両辺からfを引いて
b + e = c + d
e = (c - b) + d
a,b,cがこの順に連続だから

e = 1 + d・・・B

A,Bより
e = 1 + d = 2 + f・・・C

A,Cより

d + e + f + g ＝ 10
(1 + f) + (2 + f ) + f + g = 10
3f + 3 + g = 10

f > 0 であり、
f = 1の時g = 4(d = 5,e = 6)
f = 2の時g = 1(d = 5,e = 6)
f >= 3のときg < 0 より不適。
(なお、a,b,cは連続な自然数であれば何でも良い)
この2パターンしかない。
よってgの最大値は4

お礼

なるほどぉ・・・等式からまず不必要なものを引いて考えるんですね。
こういう問題の場合って，式で省略できるところは省略（引いたり）したりして考えていくほうがいいということでしょうか・・・。なるほどねぇ。

ご丁寧にありがとうございました。
参考になりました！