y=e^x/e、y=x、y軸で囲まれる

質問

y=e^x/e、y=x、y軸で囲まれる部分をy軸周りに1回転してできる回転体の体積Ｖを求める問題で、Ｖ=πe^3 /3 -∫[1からe](elogy)^2dyらしいのですが、こうなる理由が図を見ても分かりません
πe^3 /3というのはおそらく円錐の体積のことでしょうが、図形を見たところ円錐は出てきません
どういうことなのでしょうか？

回答No.3

いろは にほへと（@dormitory） · ベストアンサー

当方未熟者ですが…。

No.2の方のおっしゃる y=e^x/e の真偽は不明ですが、仮に質問の通りとすれば、拙いですが、添付画像のようになりませんか？ y=e^x/e のy切片と 曲線と直線の交点が分れば(方程式たてるより、x=1で代入すれば良いかも)、0≦y≦1 で直線のなすy軸中心の円錐から、 y=e^x/e が同じ区間でなすボール型の回転体を差っ引けばいい気がします。

お礼

ようやく分かりました
y=xとx軸の間を回転させて考えてしまっていたのですが本当はy軸の間を回転させるのですね
ありがとうございました

回答No.7

info22_

No.5です。

ANo.5に関連してy軸の周りに回転する領域の図（水色領域）と回転後の回転体の立体概形図を描きましたので添付します。

この図を見れば、
y軸とy=xとy=e^(x/e)で囲まれた領域(水色領域)とy軸の回りに回転した回転立体の概形を把握しやすいでしょう。
回転立体（体積V）は逆さ円錐(体積V1)からy=e^(x/e)の作るお椀状の立体（体積V2）を差し引いけば求められることが理解できませんか？
V＝V1-V2
V1:円錐の体積
V2：お椀状欠損部（削り取られる）体積
で、V1,V2は
Ｖ=π'e^3)/3 -∫[1→e](elog(y))^2dy
の第１項と第２項に対応します。

お分かり？

お礼

詳しい図をありがとうございました

回答No.6

yyssaa

補足
直線y=xとy軸と直線y=eで囲まれる部分をy軸周りに1回転してできる回転体というと、(0,0)、(0,e)、(e,e)で出来る三角形をy軸周りに回転させるんですよね？
これだと逆に円錐型の穴がある円柱になりませんか？
＞、(0,0)、(0,e)、(e,e)で出来る三角形をy軸周りに回転させれば、
底面が半径eの円で高さがeの円錐になります。

お礼

補足ありがとうございました
ようやく分かりました

回答No.5

info22_

V=V1-V2
ここで
（上下さかさまの）円錐の体積V1：底面は半径eの円.高さe
　V1=(1/3)π(e^2)*e=π(e^3)/3

円錐の体積からくり抜く部分の体積V2

>V=π(e^3)/3 -∫[1→e](elogy)^2dyらしいのですが

これは間違い。
正しくは
V =V1-V2=π(e^3)/3 -π∫[1→e](elogy)^2dy
ですね。

V2=π∫[1→e] (elogy)^2dy=π(e^2)∫[1→e] (log(y))^2 dy
log(y)=uと置くと　y=e^u
V2=π(e^2)∫[0→1] u^2*e^u du

部分積分を２回くりかえして
V2=π(e^2){[u^2*e^u][0→1]-2∫[0→1]ue^u du}
=π(e^2){e-2([ue^u][0→1]-∫[0→1] e^u du)}
=π(e^2){e-2(e-[e^u][0→1])}
=π(e^2){e-2(e-[e-1])}
=π(e^2)(e-2)

求める体積Vは、円錐部分の体積V1からくり抜き部分の体積V2を差し引けば良いから

∴V=V-V2=π(e^3)/3-π(e^2)(e-2)
=π(e^3-3e^3+6e^2)/3
=2π(e^2)(3-e)/3

となりますね。

お礼

すみません、πは書き忘れました
ありがとうございました

回答No.4

いろは にほへと（@dormitory）

度々失礼No.3です。
質問文に
elogy があるので、y=e^(x/e) が妥当ですね。No.2様、水を差してすいませんでした。いずれにしても、問題の主旨である「円錐」はy=x が描きますね。
頑張って下さい。

回答No.2

yyssaa

＞y=e^x/eはy=e^(x/e)でしょう。
y'=(1/e)e^(x/e)=e^(x/e-1)、x=eでy'=1、
x=eでy=e^(x/e)=eだから、曲線y=e^(x/e)は点(e,e)で直線y=xに接する。
従って、Vは、直線y=xとy軸と直線y=eで囲まれる部分をy軸周りに
1回転してできる回転体(円錐)の体積(これが(1/3)πe^2*e=(1/3)πe^3)
から、曲線y=e^(x/e)とy軸と直線y=eで囲まれる部分をy軸周りに1回転
してできる回転体の体積を引いたものとなります。

補足

直線y=xとy軸と直線y=eで囲まれる部分をy軸周りに1回転してできる回転体というと、(0,0)、(0,e)、(e,e)で出来る三角形をy軸周りに回転させるんですよね？
これだと逆に円錐型の穴がある円柱になりませんか？

回答No.1

naniwacchi

斜めになっている線をぐるっと回すと、円錐が現れますよ。

補足

斜めになっている線とは、y=xのことですか？