畳み込み演算とは？

質問

デジタルフィルターで使う畳み込み演算とはどのようなものなのですか。
デジタルフィルターのことでなくてもいいので畳み込み演算とはどのようなものか教えてください、お願いします。
提出が近いのですけど、どこ調べても難しいことが書いていてよくわかりません。
ホームページでわかりやすそうなところがある、みたいなことでもいいのでよろしくお願いします。

回答No.1

wolv · ベストアンサー

h(x) = ∫ f(ξ) g(ξ-x) dξ

のような演算になります．これは，関数 f の g による畳み込み演算の結果が h になることを表した式です．

（g(ξ-x)ではなく，g(x-ξ)だったかもしれません．または，どっちでもよかったかもしれません．たぶん，以下を読んだあと考えるとわかると思います．）

この定義の式ではよくわからないのですが，例えば，画像をぼかしたい場合の処理を考えて見ます．処理をわかりやすくするために１次元で考えます．
例えば輝度が
f(1)=1, f(2)= 2, f(3)= 2, f(4)= 3, ．．．
であるような画像がり，ぼかすために両脇の点を含めて平均化するとします．
その場合，（端っこはちょっとおいといて，）２番目の値は，１～３番目の平均である
1+2+2
----- = 1/3 * 1 + 1/3 * 2 + 1/3 * 2
3
になります．つまり，上のf,g,hを使うと，
h(2)=1/3 f(1) + 1/3 f(2) + 1/3 f(3) + 0* ...
で，同様に，
h(3)=1/3 f(2) + 1/3 f(3) + 1/3 f(4) + 0* ...
h(4)=1/3 f(3) + 1/3 f(4) + 1/3 f(5) + 0* ...
:
となります．さらに，つまり，
g(-1) = g(0) = g(1) = 1/3, その他のxについてg(x)=0
というgを用意して，うまくgの引数を設定すると，

h(x) = Σ f(ξ) g(α)
の形になります．

x = i の時は ξ = i-1, i, i+1 の時に α = -1, 0, 1 になるようにすればいいので，α = ξ -1となります．

h(i) = Σ f(ξ) g(ξ-i)

これを，離散的に関数ではなく，連続的な関数に対する記述に直したものが冒頭の式になります．

---

専門家ではないので，間違っているかもしれません．ごめんなさい．

回答No.3

wolv

回答No1のwolvです．
> h(x) = ∫ f(ξ) g(x-ξ) dξ
でしたっけ．失礼しました．

回答No.2

noname#3495

ウニ？
h(x) = ∫ f(ξ) g(x-ξ) dξ
だと思いますよ。

それから、説明の元関数と誤差関数(色んな呼び方あり)の対応が逆なのでは…
g(x)が元の画像
f(x)がフィルタ
h(x)がフィルタを掛けた画像
では？