ＫＫＴ条件について教えてください。

質問

ＫＫＴ条件はどのようなものかわかるのですが、具体的な数値例がわかりません。
以下の2次計画問題のＫＫＴ条件を教えて下さい。
最小化：x1^2+x2^2 (x1の2乗＋x2の2乗)
条件：x1+2x2=1 ,x1≧0,x2≧0

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

ラクランジュの未定乗数法（の拡張版）で極値問題を解く話ですね。

> ＫＫＴ条件はどのようなものかわかるのですが、

と仰っているけれど、本当にお分かりであれば自明のはずですぜ？

minimize f(x1,x2) subject to g(x1,x2)=0, p(x1,x2)≦0, q(x1,x2)≦0

において、解の必要十分条件は、

L(x1,x2,a,b,c) = f(x1,x2) + a g(x1,x2) + b p(x1,x2) + c q(x1,x2)

としたときに、(1)～(5)を全て満たすこと。
∂L/∂x1 = 0, ∂L/∂x2 = 0 　…(1)
∂L/∂a = 0　…(2)
b p(x1,x2) = 0, c q(x1,x2) = 0　…(3)
p(x1,x2)≦0, q(x1,x2)≦0　…(4)
b ≧0, c≧0　…(5)

このうち(3)をKKT条件（カルッシュ・クーン・タッカーの相補条件）と呼びます。たとえばb p(x1,x2) = 0　ってのは、bかp(x1,x2)の少なくとも一方が0であることを要求している。これは、「解がp(x1,x2)=0の曲線上にない場合には、b=0でなくちゃいけない」ってことです。

f(x1,x2)のグラフを等高線で描き、様々な(x1,x2)におけるf(x1,x2)の最大傾斜方向を描き込んで、さらにg(x1,x2)=0, p(x1,x2)=0, q(x1,x2)=0の曲線も重ねて描いてみると、(1)～(5)の意味が見えて来るでしょう。

お礼

すごく詳しく解説していただいて本当にありがとうございました。
そうですね、「わかる」という言葉は簡単に使ってはいけないですね
(-_-;)

助かりました。感謝です。