相対速度・・・

質問

雨の中を電車が南から北へ向かって直線軌道に走っており、
このとき風は電車の進行方向から角αだけ西に傾いた向きにVの速さで吹いていた。
電車の速さuのとき電車の中から見て雨は後方に鉛直とθの角をなして
降っているように見えた。雨粒の落下速度の鉛直成分はいくらか？

と言う問題です

回答No.4

starflora

なるほど、質問の趣旨を掴んでいませんでした。No.2 の方の言うような質問だったのですね。

　　そこで、見解を述べますと、議論ではなく、No.2 の方の回答は、風の及ぼす力の考え方が間違っています。電車の運動によるみかけの力はそれでよいのですが、求めておられるのは、雨滴が、風と一緒に運動していた場合の式です。実際は、雨滴は、風と一緒に運動しているのではないのです。

　　雨滴に風が当たると、確かに、その影響を雨滴は受けますが、非常に原始的には、風を連続流体と考えないで近似を考えると、速さＶの風から、垂直断面Ｓが受ける力は、Ｓに比例し、更に、Ｖの二乗に比例します。

　　雨滴は厳密には球形ではないのですが、その体積は、近似的に、半径の三乗に比例すると考えてもよいと思います。これは、雨滴の質量は、半径の三乗に比例するということです。他方、その断面積は、半径の二乗に比例するはずです。

　　雨滴が、落下によって空気抵抗とのあいだで均衡を持ち、最終速度に達した状態を考えると、落下速度は一定で、もの凄い大まかな近似で、横向きに風の力を受けると言うことになります。この時、運動方程式は：

　　ｍα＝ｋ・ｒ^2・Ｖ^2

　　ここで、ｍは雨滴の質量で、αは、風が吹く向きに取った加速度、ｋは適当な定数で、ｒは雨滴半径、Ｖが風の速度です。ｍ＝ｈｒ^3 とも書けます。ｈは大体４ぐらいですが、これは球の場合です。また比重は１なので、こうなります。単位系による調整はｈに含ませます（ｒやＶやｍを、ＭＫＳＡで示せば、ｈは４ぐらいです）。すると運動方程式は

　　ｈｒ^3・α＝ｋ・ｒ^2・Ｖ^2

　　となります。相当大まかなな近似式ですが。この式で、ｒを整理すると

　　ｈｒα＝ｋＶ^2
　　α＝（ｋＶ^2）／ｈｒ

　　となります。

　　つまり、仮に雨滴の最終落下速度が、その大きさ（ｒ）で決まってきて、この式の左辺の１／ｒが相殺されて消えると仮定しても、力はＶの二乗に比例します。Ｖは定数ですから、雨滴の速度ｕは

　　ｕ＝（ｋＶ^2）ｔ／ｈｒ

　　となります。ｔは、その風のなかを通過して地上近くまで落下する時間で、これは最終速度によって決まって来ます。しかし、問題なのは、風の吹いている空気の層の厚さで、ｕは違う値になるということで、更に、Ｖ^2 に比例するのですから、雨滴の水平方向の運動速度をＶとするのは、まったくの偶然でそうなることがあるかも知れませんが、一般にはとても云えないことだとなります。

　　風が吹いている空気の層の厚さが分かっていれば、雨滴の大きさも測定するとして、理論的な雨滴の落下最終速度は、雨滴の大きさｒによって決まって来ますから、地上あたりで、雨滴の水平方向の運動速度ｕも計算で出てきますし、このｕを、No.2 の方の式のＶの値のところに代入すれば、近似的な式が出てきますが、風が吹いている空気の厚さをどうやって測定するのか、また、風は、一様な風速を持つのではないということもあります。

　　風の速度Ｖで流されている雲から雨滴が落ちて来て、雨滴が最初からＶの水平速度成分を持っている場合でも、地上の風の速度と、雲を動かす風の速度が同じとは云えないという問題が起こります。また、「風速」というのは、一定時間での風速の平均値で、上空では一定の値かも知れませんが、その値が、地上での平均値と同じであるという保証がないのです。そこで、こういう考えの計算では、十分でないということになります。

　　つまり、条件が多数あり、色々な条件を指定したり測定して行かないと、質問者のあげておられる測定条件だけでは、計算できないということです。

回答No.3

poohhoop

＃２の回答のものです。
ちょっと問題を裏読みしてもうひとつの回答を書いておきます。

前の回答はθの計測を客席の窓で行ったものとして回答しましたが、運転席の前面窓で計測したと考えることもできます。
その場合、雨粒の南北方向成分が無視できますので、

答えは　Ｖsinα／tanθ となります。

たぶん前の答えが正解だと思いますが。

回答No.2

poohhoop

風の南北方向成分はＶcosα
列車速度と風の南北方向成分の合計は
ｕ＋Ｖcosα　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・（１）

雨の相対落下速度をｖとすると
ｖの鉛直方向速度＝ｖcosθ　　　　　　　　・・・・・・（２）
ｖの進行方向成分は＝ｖsinθ　　　　　　　・・・・・・（３）

（３）＝（１）より　ｖ＝（ｕ＋Ｖcosα）／sinθ
（２）に代入して
雨の鉛直方向速度＝ｖcosθ＝（ｕ＋Ｖcosα）cosθ／sinθ
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｕ＋Ｖcosα）／tanθ ・・・・・・・（答）

列車から見える雨粒の運動は進行方向成分と鉛直方向成分しか見えません。
したがって、風の東西方向を計算から外す工夫が必要です。
それがＶcosαです。

回答No.1

starflora

コリオリの力とかを考えない場合は、垂直成分は、普通の雨の場合、その雨の落下速さと同じです。何故かというと、風は、雨の運動に水平成分の力を加えますが、垂直成分には力が加わりません。この問題の場合、地上での東西南北の方向は指定していますが、風が上から吹いてくるとかいうような説明はありません。従って、雨粒の運動に、風は、垂直運動成分には影響しません。また、みかけの相対運動も、電車が、斜め上とか斜め下などに走行しているのでなければ、みかけの落下速度の垂直成分は、変化しません。みかけの力は、これも水平に働いて、垂直方向には働かないからです。（雨粒の落下速度は、雨粒の大きさで、最終速度が決まって来ますが、雨粒の大きさが、条件により一定ではないので、雨粒の落下速度も色々となります）。

　　なお、コリオリの力は、南北方向の運動の場合、垂直成分はありません。電車にかかるコリオリの力は、水平面での成分で、やはり、雨粒の垂直運動成分には影響しません。雨粒自身に作用するコリオリの力は、落下速度が決まった時点で決まっており、垂直成分については、風の作用や、電車の運動は関係しません。

　　雨粒の落下速度の水平成分となると、少し複雑な式になると思います。

　　雨粒が風の影響などで斜めに降る時、雨粒の運動は、水平方向の作用は受けているが、実質の作用も、見かけの作用も、この水平方向の作用だけで、「変化しない垂直成分＋作用により変化した水平成分」の合成ヴェクトルで、雨粒の斜めに降る角度が決まって来るので、「垂直成分」は変化していないのです。