z=f(x,y)で「PからQに向かって動く時のfの変化の割合」の幾何学的意味は?

質問

Let f(x,y)=√(81-x^2-y^2).Find the rate of change of f as we move from the point P=(1,4) in the direction toward the point Q=(4,8).
という問題なのですが

PQに平行な長さ1のベクトル(3/5,4/5)を求めて

(fx,fy)|P・(3/5,4/5)=(-1/8,-1/2)・(3/5,4/5)=-19/40
(※(fx,fy)|Pは(fx,fy)にP=(1,4)を代入したもの)

と解答されています。
この-19/40って値は幾何学的に何を表しているのでしょうか?

「PからQに向かって動く時のfの変化の割合」ってどういう意味なのでしょうか?

回答No.1

totoro7683 · ベストアンサー

PからQに向かって動くときのfのPにおける変化の割合とはPがPQ方向に変化すると、f（P)の値がどれだけ変化するかを示す量です。
式で書くと、
lim（f(P+dPQ)-f(P))/|dPQ| (*)(PQはベクトルをあらわす、limはｄが0にいくとき）のことです。
２次元では複雑ですが、１次元では微分係数
lim(f(x+h)-f(x))/hに相当するものです。
PQ=(3,4),|dPQ|=5dで
２変数関数のtaylor展開
f(x+h,y+k)-f(x,y)=f_xh+f_yk+(ｈ,kの高次項）
(f_x,f_yはそれぞれfのx,yによる偏微分）
を用いると((h,k)=(3d,4d)を代入）
(*)=limf(x+3d,y+4d)-f(x,y))/5d
=f_x(P)3/5+f_y(P)4/5
となります。(h,kの高次項はdを0に近づけると消えます）
あとはf_x,f_yを計算して、Pの座標を代入するだけです。

お礼

有り難うございます。

> PがPQ方向に変化すると
これは直線的にという意味でしょうか?

それとも、曲面上に沿ってという意味でしょうか?

後者でしたら何通りものルートで移動できますよね。

> f（P)の値がどれだけ変化するかを示す量
PからQまで変化した量なら
f(Q)-f(P)
で求められる、、、なんて単純な事ではないですよね。

回答No.2

totoro7683

> PがPQ方向に変化すると
これは直線的にという意味でしょうか?

それとも、曲面上に沿ってという意味でしょうか?

直線的にという意味です。
PもQもxy平面上の点です。
xy平面においてPを直線PQに沿って微小変化させたとき
fの変化f(P+dPQ)-f(P)を調べようということです。

お礼

有り難うございます。

> 直線的にという意味です。
> PもQもxy平面上の点です。
納得です。f(P),f(Q)が曲面上でしたね。

一変数の場合だと幾何学的にはxy平面上の曲線の点Pにおける接線の傾きを意味しますが
lim（d→0,f(P+dPQ)-f(P))/|dPQ|
の幾何学的な表現は難しいのですね。