解き方＆答え

質問

この問題の解き方と答えを教えて下さい。。。

因数分解をする！
(1) a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-c)

(2) a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-c)

回答No.2

ume_pyon · ベストアンサー

さっそくですが，おそらく本問題の特性（対称性）を考えると，問題文はそれぞれ(a-c)ではなくて(a-b)の間違えでしょう．つまり，

（１）a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
（２）a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b)

として解法を教えます．

たしかにこれらはとてもムズカシイ因数分解で，私もかつて苦戦した記憶があります．ですが，これらの問題には鉄則！！があります．それは，

『２種類以上の文字が含まれる式の因数分解は，１つの文字についてくくれ！！！』

ってことです．例えば，簡単な問題では，ab+a+b+1を因数分解するとき，どうやっていたか覚えていますか？おそらく，

ab + a + b + 1
＝a(b+1) + (b+1)
＝(a+1)(b+1)

と解く人がほとんどでしょう．これがまさに『』内の鉄則です．つまり，上の問題では“a”という文字だけに着目して，これでくくったわけです．言い換えると，bという文字は無視して，aのある項とaのない項にわけたのです．このように，あるひとつの文字だけに注目し，それでくくってあげると，すっきりと解けますよ．

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（１）
a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
を展開して，aという文字についてくくってみると・・・

与式＝a^2(b-c) + b^2*c - b^2*a + c^2*a - c^2*b
＝a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + b^2*c - b*c^2
＝a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c)
＝(b-c){a^2-a(b+c)+bc}　　　・・・※

よって，aでくくることで共通因数(b-c)が見えてくるわけです．あとは，{a^2-a(b-c)+bc}を因数分解するわけですが，これはたすきがけによって，

{a^2-a(b-c)+bc}＝(a-b)(a-c)

と因数分解できます．よって，

※式＝(b-c)(a-b)(a-c)＝-(a-b)(b-c)(c-a)

が答えです．
（なお，上のように頭にマイナスを出して，順番を入れ替えたのは，見た目を美しくするためです．）

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（２）
これも同じようにaでくくれば先が見えてきますが，これは計算がややこしいです．

与式＝a^3(b-c) + b^3*c - b^3*a + c^3*a - c^3*b
＝a^3(b-c) - a(b^3-c^3) + b^3*c - b*c^3
＝a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b-c)(b+c)
＝(b-c){a^3 - a(b^2+bc+c^2) + bc(b+c)}　　　・・・※

つぎに，{}の中身を因数分解しますが，今度はこのままの形，つまりaでくくった形では因数分解が困難なので，いったん展開してからbでくくってみましょう．すると，{}内は

(c-a){b^2 + bc - a(c+a)}

と因数分解できます．あとは残りの部分をcでくくってみましょう．

・・・とまあ，この辺は（１）とおんなじ作業なので割愛します．今までの解法が理解できていればそれほど難しくありませんので，あえて途中式を割愛しました．ぜひ自分の実力チェックとしてがんばってみてください．すると，最終的に得られる答えは

与式＝(b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c)＝-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)

でしょうか．

回答No.4

KaitoTVGAMEKOZOU

Ｎ０２，Ｎ０３の方が言っておられる定石とは？

式変形の基本～文字の固定順位～
１．次数最高の文字を固定。つまり定数項と見る。
２．係数最大の文字、又は最頻出文字を固定。つまり、定数項と見る。
３．全て対等なら何でもよい。どれでもいいから、定数項と見る。

これは、
「動かす文字　→なるべく変化量の少ない文字を動かす」
「固定する文字→なるべく変化量の大きい文字を固定する。つまり、定数項と見る」
という、文字を動かす基本に通ずるものがあります。

それでは、次に因数分解の質問が来ても、他の回答者の方々のお手を煩わさないように、因数分解解法を載せておきます。

全ての項に共通な因数があるか？
「ＹＥＳ→くくりだす。」「ＮＯ→何もしない」
　　　　　　　　↓
次に、次数最低の文字について整理する。
　　　　　　　　↓
その式は一次式か？
　　「ＹＥＳ→(1)☆＋(2)の、(2)のみを、因数分解する。(注！☆は次数最低の文字)」
　　　　　　　　↓
　　「(1)と(2)の共通因数を探してくくりだす」
　　　　　　　　↓
　　「　　　　　　ＥＮＤ　　　　　　　　」

　　「ＮＯ→その式は２次３項式か？」
　　　　　　　　↓
　　　　　「ＹＥＳ→(1)☆^2＋(2)☆＋(3)の、(1)と(3)のみを因数分解する」
　　　　　　　　↓
　　　　　「(ａｘ＋ｂ)(ｃｘ＋ｂ)＝ａｃｘ^2＋（ａｄ＋ｂｃ）ｘ＋ｂｄを利用して因数分解する」
　　　　　　　　↓
　　　　「　　　　　　ＥＮＤ　　　　　　　　」

　　　　　「ＮＯ→公式を直接利用するか、因数定理を利用」
　　　　　　　　↓
　　　　　　「　　　　　　ＥＮＤ　　　　　　　　」

以上！

回答No.3

puni2

補足です。
この問題の場合，式が対称で，どの文字についても次数は同じですが，もし文字によって次数が異なる場合は，通常
「もっと文字数の低い1文字について解け」
となります。
たとえば，式を全部展開した時，aの次数が3，bが2，cが1なら，cについてまとめると，c（なんとか）＋（かんとか）という，cの１次式になります。
3次式よりは2次式，2次式よりは1次式のほうが，すぐに共通因数が見えてきて，比較的因数分解しやすいことが多いからです。

それにしても，今でもあるんですね，こんな難しい因数分解って。

回答No.1

sabodes

変数がａｂｃの３つあるのでこのままだと解きにくいと思います。

仮にａ＝ｃとして変数を２つに減して考えると解けますよ。

後は自分で考えてね。