１０次方程式（４次方程式の解き方？）

質問

途中まで解いたのですが、わからないので質問します。

x^10=0の方程式を解く際に、
x^10-1=0のとき、
(x^5+1)(x^5-1)=0
x^5-1=0の解の一つをx=αとすると、
x=-αはx^5+1=0の解になる。
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
ここでx=1以外の解は、x=0は解でないのが明らかなので
x^4+x^3+x^2+x+1=x^2(x^2+x+1+1/x+1/x^2)
ここまではなんとか解けました。
この先の解法、解を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

akkey-2006

参考ＵＲＬのところを読んでみると面白いかもしれません。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwaN/taiwaNch02/node1.html

回答No.4

pyon1956

＞a^2-b^2)+2abi,(a^2-b^2)-2abiの計算をできず

a=cos72°=((√5)-1)/4 , b=sin72°=(√10+2√5)/4
を代入。かけ算とたし算だけなので難しくないかと・・・・

回答No.3

pyon1956

解き方は#1さんのやり方で良いので、

詰めの部分。
root((1/2)×( -5 干 root(5)))ですが、このままやっていてももうひとつなので、これの解の一つをx=a+biとおきます。(a,bは実数）
このときほかの３つの解は、a-bi,(a^2-b^2)+2abi,(a^2-b^2)-2abiになります。従って何か一つ解を求めればよいわけです。
一般にx^n-1=0を円分方程式というのですが、これの解の一つは
x=cos(360°/n)+isin(360°/n)であることが知られていますから、
この場合解の一つはcos72°+isin72°です。
詳しい説明は省きますがcos72°=((√5)-1)/4、sin72°=(√10+2√5)/4です。（この２重根号ははずせません）

補足

ありがとうございます。ですが、この場合の
(a^2-b^2)+2abi,(a^2-b^2)-2abiの計算をできず悩んでいます。
教えていただけないでしょうか？

回答No.2

madousin

特別自信は無く。
力押しの解き方です。
参考までにどうぞ。

x^2(x^2 + x + 1 + 1/x + 1/x^2) = 0
以降から始めると
t = x + 1/x とおくと
(x^2 + x + 1 + 1/x + 1/x^2) = (t^2 + t - 1) = 0
解の公式より
t = (-1±√5)/2
t = x + 1/x であるから
(-1±√5)/2 = x + 1/x
x^2 - [(-1±√5)/2]x + 1 = 0
ここでさらに解の公式を用いて
xが求まります。

回答No.1

mickel131

x^5 = 1 より、x^5 - 1 =0
(x - 1)(x^4+x^3+x^2+x+1 )=0
方程式
x^4+x^3+x^2+x+1 = 0
は、x = 0　のとき成り立たないので、
x≠0　としてよい。
両辺をx で割ると、
x^2+x+1+1/x+1/x^2　= 0　---(1)
ここで、t = x + 1/x ---(2)
と置き、(2)の両辺にxをかけて、
tx = x^2 + 1
x^2 - tx + 1 = 0　---(3)
この２次方程式を解の公式で解くと、
x = (1/2)×( t + root(t^2-4))　---(4)
(2)の両辺を２乗して、
t^2 = ( x + 1/x )^2 = x^2 + 2x(1/x) + 1/x^2
= x^2 + 1/x^2 + 2
よって、
x^2 + 1/x^2 = t^2 -2 ---(5)
(2),(5)を(1)に代入してxを消去すると、
(t^2 -2) +ｔ+ 1 = 0
２次方程式　t^2 + ｔ - 1 = 0 ---(6)
が得られる。これを解の公式で解くと、
t = (1/2)×( -1 ± root(5))　---(7)
この値に対して、(6)より、
t^2 = - t +1　= (1/2)×( 1 干 root(5)) +1
= (1/2)×( 3 干 root(5))
t^2 - 4 = (1/2)×( -5 干 root(5)) ---(8)
(7)(8)を(4)に代入して、
x = (1/2)×( t + root(t^2-4))　
= (1/2)×[ (1/2)×( -1 ± root(5)) + root((1/2)×( -5 干 root(5)))]　（複号同順）---(9)

-----------------------------------------------
計算は間違っているかもしれないので、自信なし、としておきます。　干　はマイナスプラスの記号と思ってください。x^5 + 1 = 0 の方も同様に解いてください。方程式　x^10 = 1 を解くことは、正１０角形の頂点を定規とコンパスだけで作図する問題を解くことと本質的に同じだ、ということを「複素数平面」（旧課程）という分野で学びます。正５角形は定規とコンパスだけで作図できます。正１０角形は、正５角形の辺の垂直２等分線と円との交点（５個）を正５角形の頂点に加えて作図できます。(9)のようにxがル－トと加減乗除で表されるので、正１０角形の頂点を定規とコンパスだけで作図できることになります。