3の倍数であることの証明
《問題》
a,b,cは整数とし,a^2+b^2=c^2とする。a,bのうち,少なくとも1つは3の倍数であることを証明せよ。
《解答》
a,bはともに3の倍数でないと仮定すると,【aとbは3k+1または3l+2(k,lは整数)と表される。】
ここで (3k+1)^2=3(3k^2+2k)+1
(3l+2)^2=3(3l^2+4l+1)+1
3k^2+2k,3l^2+4l+1は整数であるから,3の倍数でない数a,bの2乗を3で割った余りはともに1である。
したがって,a^2+b^2を3で割った余りは2である…(1)
一方,cが3の倍数のとき,c^2は3で割り切れ,cが3の倍数でないとき,c^2を3で割った余りは1である。
すなわち，c^2を3で割った余りは0か1である…(2)
(1),(2)はa^2+b^2=c^2であることに矛盾する。
ゆえに,a^2+b^2=c^2ならば，a,bのうち,少なくとも1つは3の倍数である。
質問は,【 】の囲ったところです。
aとbは3k+1または3l+2(k,lは整数)と表されるとのことですが,3l+2のところを「3l+1」とし,aとbは3k+1または「3l+1」(k,lは整数)と表される,というようにすることはできないのでしょうか?
回答宜しくお願いします。
お礼
お蔭様で助かりました。 本当にありがとうございました。