サイコロの問題で・・・。

質問

ｎ個このサイコロをふり、出た目の数の和が７の倍数である確率をＳｎとする。
(1)Ｓｎ+1 を Ｓｎ を用いて求めよ。
(2)Ｓｎを求めよ。

(1)をやろうとしたのですが周期がよく分からなくて（書き出したら７周期に１回狂う）とまってしまいました。
(2)は(1)が解けなかったので、無理でした。が、特性方程式にするのだと思いました。

誰か教えてください。
（入試問題で問題を回収されてしまったので、不備がありましたら追加質問を。）

回答No.1

yshin001 · ベストアンサー

(1)
出た目の数の和が７の倍数のときは、もう１個振っても７の倍数にはなりません。
７の倍数でない確率は１－Ｓｎで、和として考えられるのは
（7a+1)(7a+2)(7a+3)(7a+4)(7a+5)(7a+6)のいずれかです。
いずれの場合ももう１個振ったときに７の倍数になる確率は1/6なので
答えは　Sn+1＝０＊Ｓｎ＋１／６(１－Ｓｎ)
　　　　　　＝1/6(1-Sn)
です。
(2)
Sn = 1/6(1-Sn-1)
Sn-1 = 1/6(1-Sn-2)
なので
Sn - Sn-1 = -1/6(Sn-1 - Sn-2)
= (-1/6)^(n-2) (S2 - S1)
S2 = 1/6,S1 = 0なので
= 1/6 (-1/6)^(n-2)
= (-1)^(n-2) / 6^(n-1)

(1)のSn-1 = 1 - 6Snを使って
Sn - Sn-1 = 7Sn - 1 = (-1)^(n-2) / 6^(n-1)
Sn = 1/7 ( (-1)^(n-2) / 6^(n-1) + 1) (n>=1)
です。

お礼

詳しい解答ありがとうございました。
どうにかこうにか、分かりました。

回答No.3

mickel131

回答でもアドバイスでもなく報告ですが・・・。
私は、問題の場合の数を求めるために,実際に書き出してみました。
その結果は、
サイコロが２個の時、６通り。
サイコロが３個の時、３０通り。
（内訳は、合計が７になる場合が１５通り、合計が１４になる場合が１５通り。）
サイコロが４個の時、１８６通り。　
（内訳は、合計が７になる場合が２０通り、合計が２１になる場合が２０通り、
合計が１４になる場合が、１４６通り。この１４６通りの内訳は、1個目のサイコロの目を１とした場合が２１通り、同じく２とした場合が２５通り、３とした場合が２７通り、４とした場合が２７通り、５とした場合が２５通り、６とした場合が２１通り。）
です。

お礼

解けました。
ありがとうございました。

回答No.2

gator

まず、場合の数で考えます。Ａnとします。ついでに、あまり1の場合をＢn、
あまり2の場合をＣn・・・あまり6の場合をＧnとします。
Ａn+Ｂn+・・・Ｇn=6^nですね。また、Ｓn=Ａn/6^nです。

(1) n個のサイコロで7の倍数になった場合は、もう1個加えると7の倍数には
なりません。n個であまり1だった場合はそれに「6」を加えれば7の倍数になります。
同様にあまり2だったら「5」・・・というように必ずn+1個目のサイコロの目1つを
組み合わせてやれば7の倍数になります。
つまり、Ａn+1=Ｂn+・・・Ｇn=6^n-Ａn
∴Ｓn+1=(1/6)*(1-Ｓn)

(2) Ａn=6^(n-1)-Ａn-1
これを解けば、Ａn=6^(n-1)-6^(n-2)+6^(n-3)・・・6
最後の6に付く符号はnが偶数の時は+、奇数の時は-です。
∴Ａn=(6^n+6)/7 (n=even)
(6^n-6)/7 (n=odd)
∴Ｓn=(1+1/6^(n-1))/7 (n=even)
(1-1/6^(n-1))/7 (n=odd)

お礼

ありがとうございました。
解けました。