これは正直よくわかりません・・・
今の契約はどうなっているのでしょうか？アルバイトなんでしょうか？パートなんでしょうか？
会社に入って働くということは「労働契約」を結ぶ必要があります。要は「何時から何時まで（場所）で（仕事内容）について働く。給料は時給１０００円」といった感じです。（ちょっと簡単に書いてますが）
勤め始めたということはなにがしかの約束はしている筈ですよね。
その上で回答すると、一般的に考えられるのは「○週間見習いで様子を見て、問題なければ、正社員として採用」というケースです。これは実際結構な会社で採用しています。ただ、１４日を超えると解雇したくても、労働基準法の解雇手続き（３０日前に予告をするか、３０日分の平均賃金を払う）を取る必要があるので、それまでに白黒つけるか、あるいは長めに（例えば３ヶ月）とって、３０日前に採否を決するかのどちらかはしているのが普通です。
他の人が社員になっているから貴方もなれるとは限りません。個々の労働者と会社の契約は別だからです。ただ、一般的に不自然ということは言えるかもしれません。
今言えることはこのくらいです。もうちょっと情報があれば教えてください。
即時に辞めることができるかどうかは労働基準法第１５条第２項に該当するのならば、即時解除可能です。
（労働条件の明示）
第15条 使用者は、労働契約の締結に際し、労働者に対して賃金、労働時間その他の労働条件を明示しなければならない。この場合において、賃金及び労働時間に関する事項その他の厚生労働省令で定める事項については、厚生労働省令で定める方法により明示しなければならない。
２ 前項の規定によつて明示された労働条件が事実と相違する場合においては、労働者は、即時に労働契約を解除することができる。
そうでない場合は、民法の規定になりますので２週間前に言う必要があります。最も双方が合意すれば即時に成立しますが。
