logの微分

質問

log(x)を微分すると1/xですが、
この関係はどのようにして導くのでしたっけ?
lim(Δx→0)[{log(a+Δx)-log(a)}/Δx]がどうやったら
1/xになるのですか?

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

多分、e^y=xの両辺を微分するのだと思います。合成関数の微分を使って。

回答No.4

endlessriver

＃１です。(logx)'=1/xと(e^x)'=e^xは同レベルの問題というか循環論法のようになるので＃２の方の方針でよいと思われます。

回答No.3

tuort_sig

逆関数の微分法を利用します。
y＝logx・・・（＊）とおく
今導きたい関係はdy/dx＝１/xですね
ここで、逆関数の微分法よりdy/dx＝１/(dx/dy)ですから
dx/dyを求めてみます。（＊）よりx＝e^yなので、dx/dy＝e^y
よってdy/dx＝１/e^y（＊）よりy＝logxを代入して
１/e^y＝１/e^(logx)ところで、e^(logx)＝xが成り立つのはいいですよね？(logx)＝logxと変形できますからね。
したがって、dy/dx＝１/xが導けます。

回答No.2

take008

底がaのlog_a(x)の微分を考えます。
(log_a(x))'=lim[h→0]{log_a(x+h)-log_a(x)}/h=lim[h→0]log_a(1+h/x)/h (ここで t=h/x とおく)
=lim[t→0]log_a(1+t)/t・1/x=K_a・1/x
ただし，K_a=lim[t→0]log_a(1+t)/t はxとは関係ない定数で，(x,y)=(1,0) での接線の傾きになります。
K_a=1 だと何かと便利なので，こうなるａに特別につけた名前がｅです。
ｅの定義：e=a ⇔ lim[t→0]log_a(1+t)/t=1 ⇔ (log_a(x))'=1/x
このようにｅを定義すると，(e^x)'=e^x が導かれます。

しかし，一般にはこれと逆の順番でやります。
(a^x)'=lim[h→0]{a^(x+h)-a^x}/h=lim[h→0]{a^xa^h-a^x}/h
=lim[h→0]{a^h-1}/h・a^x=C_a・a^x
ただし，C_a=lim[h→0]{a^h-1}/h はｘに無関係の定数で (0,1) における接線の傾きになります。
C_a=1 となるａをｅと呼びます。
ｅの定義：e=a ⇔ C_a=lim[h→0]{a^h-1}/h=1 ⇔ (a^x)'=a^x
このように定義すると (log_e(x))'=1/x になります。

y=log_a(x) の(1,0)での接線の傾きK_aと y=a^x の(0,1)での接線の傾きC_aの関係は？
図をかけばわかると思いますが，K_a=1/C_a です。
ゆえに，C_a=1 ⇔ K_a=1 となり，上に書いたｅの2つの定義は同じことです。