輸送現象に関する問題

質問

テストに出た問題で解らないので教えてください。球型のタンクの大きさや、電気代などは自由に決めて良いそうです。
問題
　料金の安い深夜電力を使った家庭風呂用の電気温水器での問題。９０度と７０度のお湯が、入っている球型のタンクで、数時間後に４０度の温水として使用することを考えたとき、どちらの温度に設定したタンクが経済的であるか考えよ。ただし、次の条件の下で考えよ。
（1）４０度の温水にする場合には２０度の水道水と混ぜて湯温を調節する。
（2）どちらも最初は４０度にしたときには同じ湯量が得られる。
（3）タンクの球面からのみ放射し、温水取り出し口等は無視する。

回答No.1

siegmund

まず，問題の意味を考えてみましょう．

(2)の条件があるので，90度の湯の方が少なくてすむ．
すなわち，球型のタンクは90度用の方が小さくて済み，
当然表面積も小さい．
表面積が小さいほど熱が逃げにくいから，この点では90度の方が有利だ．
でも，大気温度との差が少ない方が熱が逃げにくいから，
こちらの要素は70度に有利だ．
こりゃ，よく考えないといけないや．

こういう話です．

例えば，４０度の湯を１キロリットル作るなど考えてみると，
必要な湯量は
(1)　　 V(90)：V(70) = ５：７
であることは簡単にわかります．
V(90) は９０度の湯の体積．

球型タンクの表面積を S(90)，S(70) で表しますと，
体積は半径の３乗に比例，表面積は２乗に比例ですから
(2)　　S(90)：S(70) = 5^(2/3)：7^(2/3)
です．
大気中に逃げる熱は大体，(温度差)×(表面積に)に比例するとします
(ニュ－トンの冷却の法則)．

したがって，大気温をθとすると，当初に逃げる熱Ｑは
(3)　　Q(90)：Q(70) = 5^(2/3)×(90-θ)：7^(2/3)×(70-θ)
すなわち，
(4)　　Q(90)/Q(70) = (5/7)^(2/3)×{(90-θ)/(70-θ)}

あとは，適当にθを設定してみてください．