とある数式

質問

連立方程式
a*root(2/x)+b*root(2/x+y)=c
b*root(2/x+y)+d*root(2/y)=e
(a,b,c,d,eは全て正の定数)
を、xとyについて求めたいのですが、
代入して解いていく方法では限界を感じました。
何か良い解き方はありませんでしょうか？

回答No.2

oyaoya65 · ベストアンサー

#1です。
解法は補足の通りで良いと思います。
スマートな解法は係数がすべて文字定数のため解の式は簡単にならず、ここに書き切れないほど非常に長い式になります。解ける形式の連立方程式に変形後は、数式ソフトを使われた方が計算間違いが防げます。

オーソドックスな解法の流れは以下のようになります。
＞a√(2/x)+b√(2/(x+y))=c -----(1)
a√2/√{(x/y)+1}+b√2/√(x/y)=c√x√{(x/y)+1} -----(1')

＞((1)－(2))式からxについての式を導出しました。
→(3)
→a√2-d√2√(x/y)=(c-e)√x -----(3')
(1')と(3')の連立方程式で
u=√x,v=√(x/y)と変数変換すると比較的解きやすいu,vについての連立方程式に変形できます。
(1')→
2(b^2)(v^2)={1+(v^2)} (cu-a√2)^2 -----(4)
(3')→
(a-dv)√2=(c-e)u -----(5)

(4).(5)を連立にしてu,vを求めます。
（数学ソフトを使って連立方程式を解くと式の書き間違いが少ないですね。u,vの式がa,b,c,d,eの非常に長い式になりますで筆算の場合転記ミスをしやすいので慎重に計算する必要があります。私の場合Mathematicaというソフトを使っていますが、Maple,その他の無料ソフトもあります。学生さんなら、大学や学校でライセンス導入していて無料で使えることが多いですね。）

後はx=u^2,y=u/(v^2)に戻せば良いですね。
（勿論、途中で2乗していますので条件にあった解をチェックすることが必要ですね。）

お礼

なるほど、xとx/yに注目するんですね。
変数変換は頭の中にあったんですが、
それは思いつきませんでした。
高校の時などに授業であった気がします。
何でもかんでもルートを消そうと
躍起になっていました。
筆算と計算ソフトの両方から計算してみます。
ありがとうございました。

回答No.1

oyaoya65

rootは√の記号を使うといいですね。
√の中身の「2/x+y」は
(2/x)+y　あるいは　2/(x+y)
のいずれですか？
回答者が困らない書き方にしてください。

削除対象にならないために補足で何らかの解答を示して質問してください。

ヒント
この問題は√をはずさないと先に進みませんね。
x＞0,y＞0の元で√を開けばいいですが、
root(2/x+y)の項だけを片方の辺に移動し自乗して√をはずすところからやって見てください。

補足

すいません、うっかりしてました。
2/(x+y)です。

a√(2/x)+b√(2/(x+y))=c -----(1)
b√(2/(x+y))+d√(2/y)=e -----(2)
ですね。

とりあえず(1)式からyについての式、
((1)－(2))式からxについての式を導出しました。
どちらも分数の分母及び分子の中に√の項がある複雑な式になったのですが、
定数のみの項も出現したので、一定の解が得られると思います。
引き続き計算を続けていきますが、
よりわかりやすい解法があるとか、
今のやり方が見当違いであるという場合は、
ご指摘お願いします。