１の近傍での増減の近似

質問

１の近傍でのプラスマイナスの増減を、乗除算で近似する方法を記載してある本を見つけました。その手法の名称（○○の定理など）や詳しく書かれている文献をご存知であれば教えていただければ幸いです。

具体的には例えば、１割増・減を１．１倍と１／１．１で算出します。１．１倍は当然ですが、０．９倍を０．９０９倍で近似します。

少し１から離れる４割減の時は、１／１．４で０．７１倍（本来は０．６倍）で算出する事になります。

高校程度の数学にあったような気もしますが、なかなか見つかりませんでした。私の勘違いで一種の経験則なのかな～とも思うようになっています。

定理であれば、その証明などがわかるとありがたいです。また、上の１．４割減の場合のように、１から離れると近似が悪くなるので工夫する方法もあるのかもしれません。

ちなみに本計算を目にしたのは、ある分析での推定の誤差に関する部分です。統計での信頼性区間に該当する数値を加減算ではなくて上での乗除算で近似しています。さらには、本来信頼性区間はそれぞれの座標に依存しますが、求めた推定曲線を代表するような数値で大体の信頼性区間を算出しています。そして、いくつかの推定曲線の比較にも使っています。

よろしくお願いします。

回答No.2

atomicmolecule · ベストアンサー

数学のテイラー展開です。テイラー展開とは
1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....+x^∞
ｘが小さい時にはx^2,x^3とかが小さくなりますから無視できて、
1+x～1/(1-x)
またはｘを-xで置き換えて
1-x～1/(1+x)
で良いということになります。
一般証明は数学の知識が必要になるのでやめますが、上の例ではテイラー展開の式に両辺(1-x)を掛けると
(1-x)*1/(1-x) = (1-x)*(1+x+x^2+x^3+x^4....+x^∞)
左辺は１なので、右辺が１になれば証明できたといってよいでしょう。

(1-x)*(1+x+x^2+x^3+x^4....+x^∞)
= 1*(1+x+x^2+x^3+x^4....+x^∞)
-x*(1+x+x^2+x^3+x^4....+x^∞)

ですが、展開して同じｘの冪を見てください、上の段と下の段で相殺します。残るのは１だけです。証明はこれでよいと思います。

ｘが大きいときには　x^2　とか利いてきますから質問の式の精度が落ちてくるわけです。テイラー展開を勉強すれば
√x　の近似とかもわりと簡単にできますよ。

お礼

「テイラー展開」（二項定理）で分かりました。

1+yとか1-yをどうするかばかりに目が行ってしまい、1/(1-x)、ただし今回のケースは1/(1+x)、の方の近似という視点で考えれば良かったんですね。

ありがとうございました。

回答No.3

oyaoya65

A#2さんの回答にあるテーラー展開
f(x)のx=1のまわリの展開
f(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+(1/2)f''(1)(x-1)^2+(1/6)f'''(1)(x-1)^3+....
の一次近似である
f(x)≒f(1)+f'(1)(x-1)
ただし、x≒1、f'(1)はf(x)の一次導関数でx=1と置いたものです。
2次の項(x-1)^2　以降の和が誤差になりますね。
一般項は
{f^(n)(1)/n!}(x-1)^n
ですので、xが1に近いほど、またべき数nが大きくなるほど急速に小さくなります。(f^(n)(1)がn次導関数でx=1と置いたものを表します。)

例えば、近似式は
f(1)に対して増減分f'(1)(x-1)を加えます。
具体例として
xが1から1割増（x=1.1）で 近似値としてf(1)+0.1*f'(1)
xが1から2割減（x=0.8）で 近似値としてf(1)-0.2*f'(1)
を与えることになります。

回答No.1

Piazzolla

二項定理を使った近似式ではないかと思いましたが、違ってたらすみません。。。